Касательное пространство

Касательное пространство к гладкому многообразию в точке — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к в точке обычно обозначается или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто .

Касательное пространство и касательный вектор , вдоль кривой , проходящей через точку

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентости гладких кривы через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровеь абстракции в нём выше.

Как класс эквивалентости гладких кривых

Пусть   — гладкое многообразие и  . Рассмотрим класс   гладких кривых   таких, что  . Введём на   отношение эквивалентости:   если

 

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей  .

Элементы касательного пространства   определяются как  -классы эквивалентности  ; то есть

 .

В карте такой, что   соответствует началу коодинат, кривые из   можно складывать и умножать на число следующим образом

 
 

При этом результат остаётся в  .

Эти операции продожаются до классов эквивалентности  . Более того, индуцированные на   операции уже не зависят от выбора карты. Так на   определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть   — гладкое многообразие. Тогда касательным к многообразию   в точке   называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов  , сопоставляющих каждой гладкой функции   число   и обладающих следующими свойствами:

  • аддитивность:  
  • правило Лейбница:  

На множестве всех дифференцирований в точке   возникает естественная структура линейного пространства:

  •  
     

Замечания

  • Под гладкостью понимается  -гладкость.
    • Для классе гладкости   определение через дифференцирование в точке даёт бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. см ниже
  • Для любой кривой   для оператора   выполняются правило Лейбница и свойство адитивности. Это позволяет иденцифицировать касательные пространства получаемые в первом и вторым определении.

Через дифференцирование в точке, случай  -дифференцируемого многообразия

Пусть   -дифференцируемое многообразие,  кольцо дифференцируемых функций из   в  . Рассмотрим кольцо   ростков функций в точке   (или, эквивалентно, локализацию   по отношению ко множеству всех функций, не равных нулю в точке  ) и каноническую проекцию  . Это кольцо локально, обозначим через   его максимальный идеал; этот идеал состоит из всех ростков, обращающихся в ноль в точке   и является ядром гомоморфизма колец  . Введем на   структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма  ,   и будем далее отождествлять   и  . Имеет место равенство  .[1] Обозначим через   подалгебру  , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке   в каждой карте; обозначим  . Заметим, что  . Рассмотрим два векторных пространства:

  •   — это пространство имеет размерность   и называется касательным пространством к   в точке  ,
  •   — это пространство изоморфно пространству дифференцирований   со значениями в  , его иногда называют алгебраическим касательным пространством[2]   в точке  .

Если  , то   имеет размерность континуум, а   содержит   как нетривиальное подпространство; в случае   или   эти пространства совпадают (и  ).[3] В обоих случаях   можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований   со значениями в  , для вектора   формула   задает инъективный гомоморфизм   в пространство дифференцирований   со значениями в   (структура вещественной алгебры на   задается аналогично  ).

Свойства

  • Касательное пространство  -мерного гладкого многообразия является  -мерным векторным пространством
  • Для выбранной локальной карты  , операторы   дифференцирования по  :
     
представляют собой базис  , называемый голономным базисом.

Связанные определения

  • Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

См. также

  1. Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
  2. Laird E. Taylor, The Tangent Space to a   Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
  3. JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.