Касательное пространство к гладкому многообразию в точке — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства.
Касательное пространство к в точке обычно обозначается или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто .
Касательное пространство и касательный вектор , вдоль кривой , проходящей через точку
Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.
Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.
Касательное пространство в точке к подмногообразию определяется аналогично.
В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.
Есть два стандартных определения касательного пространства:
через класс эквивалентости гладких кривы через дифференцирование в точке.
Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей.
Второе является наиболее простым, хотя уровеь абстракции в нём выше.
Как класс эквивалентости гладких кривых
Пусть — гладкое многообразие и .
Рассмотрим класс гладких кривых
таких, что .
Введём на отношение эквивалентости:
если
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей .
Элементы касательного пространства определяются как -классы эквивалентности ; то есть
.
В карте такой, что соответствует началу коодинат,
кривые из можно складывать и умножать на число следующим образом
При этом результат остаётся в .
Эти операции продожаются до классов эквивалентности .
Более того, индуцированные на операции уже не зависят от выбора карты.
Так на определяется структура векторного пространства.
Через дифференцирование в точке
Пусть — гладкое многообразие.
Тогда касательным к многообразию в точке называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов , сопоставляющих каждой гладкой функции число и обладающих следующими свойствами:
На множестве всех дифференцирований в точке возникает естественная структура линейного пространства:
Замечания
Под гладкостью понимается -гладкость.
Для классе гладкости определение через дифференцирование в точке даёт бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. см ниже
Для любой кривой для оператора выполняются правило Лейбница и свойство адитивности. Это позволяет иденцифицировать касательные пространства получаемые в первом и вторым определении.
Через дифференцирование в точке, случай -дифференцируемого многообразия
Пусть — -дифференцируемое многообразие,
—кольцо дифференцируемых функций из в .
Рассмотрим кольцо ростков функций в точке (или, эквивалентно, локализацию по отношению ко множеству всех функций, не равных нулю в точке ) и каноническую проекцию .
Это кольцо локально, обозначим через его максимальныйидеал;
этот идеал состоит из всех ростков, обращающихся в ноль в точке и является ядром гомоморфизма колец .
Введем на структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма , и будем далее отождествлять и .
Имеет место равенство .[1] Обозначим через подалгебру , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке в каждой карте;
обозначим .
Заметим, что .
Рассмотрим два векторных пространства:
— это пространство имеет размерность и называется касательным пространством к в точке ,
— это пространство изоморфно пространству дифференцирований со значениями в , его иногда называют алгебраическим касательным пространством[2] в точке .
Если , то имеет размерность континуум, а содержит как нетривиальное подпространство;
в случае или эти пространства совпадают (и ).[3] В обоих случаях можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований со значениями в , для вектора формула задает инъективный гомоморфизм в пространство дифференцирований со значениями в (структура вещественной алгебры на задается аналогично ).
Свойства
Касательное пространство -мерного гладкого многообразия является -мерным векторным пространством
Для выбранной локальной карты, операторы дифференцирования по :
представляют собой базис, называемый голономным базисом.
Связанные определения
Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.