Касательное пространство

• Разделы:
  • Свойства
  • Связанные определения
  • См. также

Касательное пространство к гладкому многообразию M{displaystyle M} в точке x{displaystyle x} — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства.Касательное пространство к M{displaystyle M} в точке x{displaystyle x} обычно обозначается TxM{displaystyle T_{x}M} или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто Tx{displaystyle T_{x}}.

Касательное пространство TxM{displaystyle scriptstyle T_{x}M} и касательный вектор v∈TxM{displaystyle scriptstyle vin T_{x}M}, вдоль кривой γ(t){displaystyle scriptstyle gamma (t)}, проходящей через точку x∈M{displaystyle scriptstyle xin M}

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением.Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке p{displaystyle p} к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Содержание

• 1 Определения
  • 1.1 Как класс эквивалентости гладких кривых
  • 1.2 Через дифференцирование в точке
    • 1.2.1 Замечания
  • 1.3 Через дифференцирование в точке, случай '»`UNIQ—postMath-00000030-QINU`»‘-дифференцируемого многообразия
• 2 Свойства
• 3 Связанные определения
• 4 См. также

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства:через класс эквивалентости гладких кривы через дифференцирование в точке.Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей.Второе является наиболее простым, хотя уровеь абстракции в нём выше.

Как класс эквивалентости гладких кривых

Пусть M{displaystyle M}

  — гладкое многообразие и p∈M{displaystyle pin M} .Рассмотрим класс Γp{displaystyle Gamma _{p}}  гладких кривых γ:I→M{displaystyle gamma colon mathbb {I} to M} таких, что γ(0)=p{displaystyle gamma (0)=p} .Введём на Γp{displaystyle Gamma _{p}}  отношение эквивалентости: γ∼γ′{displaystyle gamma sim gamma ‘}  если

|γ(t)−γ′(t)|=o(t){displaystyle |gamma (t)-gamma ‘(t)|=o(t)} 

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей p{displaystyle p}

 .

Элементы касательного пространства Tp{displaystyle T_{p}}

  определяются как ∼{displaystyle sim } -классы эквивалентности Γp{displaystyle Gamma _{p}} ; то есть

Tp=Γp/∼{displaystyle T_{p}=Gamma _{p}/sim } .

В карте такой, что p{displaystyle p}

  соответствует началу коодинат,кривые из Γp{displaystyle Gamma _{p}}  можно складывать и умножать на число следующим образом

(γ+γ′)(t)=γ(t)+γ′(t){displaystyle (gamma +gamma ‘)(t)=gamma (t)+gamma ‘(t)} 

(k⋅γ)(t)=γ(k⋅t){displaystyle (kcdot gamma )(t)=gamma (kcdot t)} 

При этом результат остаётся в Γp{displaystyle Gamma _{p}}

 .

Эти операции продожаются до классов эквивалентности Tp=Γp/∼{displaystyle T_{p}=Gamma _{p}/sim }

 .Более того, индуцированные на Tp{displaystyle T_{p}}  операции уже не зависят от выбора карты.Так на Tp{displaystyle T_{p}}  определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть M{displaystyle M}

  — гладкое многообразие.Тогда касательным к многообразию M{displaystyle M}  в точке p∈M{displaystyle pin M}  называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов X{displaystyle X} , сопоставляющих каждой гладкой функции f:M→R{displaystyle f:Mto mathbb {R} }  число Xf{displaystyle Xf}  и обладающих следующими свойствами:

• аддитивность: X(f+h)=Xf+Xh,{displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,} 
• правило Лейбница: X(fh)=(Xf)⋅h(p)+f(p)⋅(Xh).{displaystyle X(fh)=(Xf)cdot h(p)+f(p)cdot (Xh).} 

На множестве всех дифференцирований в точке p{displaystyle p}

  возникает естественная структура линейного пространства:

• (X+Y)f=Xf+Yf;{displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;} 

  (k⋅X)f=k⋅(Xf).{displaystyle (kcdot X)f=kcdot (Xf).} 

Замечания

• Под гладкостью понимается C∞{displaystyle C^{infty }} -гладкость.
  • Для классе гладкости Ck{displaystyle C^{k}}  определение через дифференцирование в точке даёт бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. см ниже
• Для любой кривой γ∈Γp{displaystyle gamma in Gamma _{p}}  для оператора Xf=(f∘γ)′(0){displaystyle Xf=(fcirc gamma )'(0)}  выполняются правило Лейбница и свойство адитивности. Это позволяет иденцифицировать касательные пространства получаемые в первом и вторым определении.

Через дифференцирование в точке, случай Ck{displaystyle C^{k}} -дифференцируемого многообразия

Пусть M{displaystyle M}

  — Ck{displaystyle C^{k}} -дифференцируемое многообразие, Ck(M){displaystyle C^{k}(M)}  —кольцо дифференцируемых функций из M{displaystyle M}  в R{displaystyle mathbb {R} } . Рассмотрим кольцо Cxk{displaystyle C_{x}^{k}}  ростков функций в точке x∈M{displaystyle xin M}  (или, эквивалентно, локализацию Ck(M){displaystyle C^{k}(M)}  по отношению ко множеству всех функций, не равных нулю в точке x{displaystyle x} ) и каноническую проекцию [−]:Ck(M)→Cxk{displaystyle [-]:C^{k}(M)to C_{x}^{k}} . Это кольцо локально, обозначим через mx{displaystyle {mathfrak {m}}_{x}}  его максимальный идеал; этот идеал состоит из всех ростков, обращающихся в ноль в точке x{displaystyle x}  и является ядром гомоморфизма колец [f]↦f(x){displaystyle [f]mapsto f(x)} . Введем на Cxk{displaystyle C_{x}^{k}}  структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма i:R→Cxk{displaystyle i:mathbb {R} to C_{x}^{k}} , i(a)=[consta]{displaystyle i(a)=[mathrm {const} _{a}]}  и будем далее отождествлять R{displaystyle mathbb {R} }  и i(R){displaystyle i(mathbb {R} )} . Имеет место равенство Cxk=R⊕mk{displaystyle C_{x}^{k}=mathbb {R} oplus {mathfrak {m}}_{k}} .[1] Обозначим через Cx,0k{displaystyle C_{x,0}^{k}}  подалгебру Cx,0k{displaystyle C_{x,0}^{k}} , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке x{displaystyle x}  в каждой карте; обозначим Cx,dk=R⊕mx2{displaystyle C_{x,d}^{k}=mathbb {R} oplus {mathfrak {m}}_{x}^{2}} . Заметим, что Cx,dk⊂Cx,0k{displaystyle C_{x,d}^{k}subset C_{x,0}^{k}} . Рассмотрим два векторных пространства:

• TxM:=(Cxk/Cx,0k)∗{displaystyle T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{x,0}^{k})^{*}}  — это пространство имеет размерность dim⁡M{displaystyle operatorname {dim} M}  и называется касательным пространством к M{displaystyle M}  в точке x{displaystyle x} ,
• (Cxk/Cx,dk)∗=(mx/mx2)∗{displaystyle (C_{x}^{k}/C_{x,d}^{k})^{*}=({mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}}  — это пространство изоморфно пространству дифференцирований Cxk=R⊕mx{displaystyle C_{x}^{k}=mathbb {R} oplus {mathfrak {m}}_{x}}  со значениями в R⊂Cxk{displaystyle mathbb {R} subset C_{x}^{k}} , его иногда называют алгебраическим касательным пространством[2]M{displaystyle M}  в точке x{displaystyle x} .

Если k<∞{displaystyle k<infty }

 , то mx/mx2{displaystyle {mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2}}  имеет размерность континуум, а (mx/mx2)∗{displaystyle ({mathfrak {m}}_{x}/{mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}}  содержит TxM{displaystyle T_{x}M}  как нетривиальное подпространство; в случае k=∞{displaystyle k=infty }  или k=ω{displaystyle k=omega }  эти пространства совпадают (и Cx,0k=Cx,dk{displaystyle C_{x,0}^{k}=C_{x,d}^{k}} ).[3] В обоих случаях TxM{displaystyle T_{x}M}  можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований Cxk{displaystyle C_{x}^{k}}  со значениями в R{displaystyle mathbb {R} } , для вектора X∈TxM{displaystyle Xin T_{x}M}  формула X(f)=X([f]){displaystyle X(f)=X([f])}  задает инъективный гомоморфизм TxM{displaystyle T_{x}M}  в пространство дифференцирований Ck(M){displaystyle C^{k}(M)}  со значениями в R{displaystyle mathbb {R} }  (структура вещественной алгебры на Ck(M){displaystyle C^{k}(M)}  задается аналогично Cxk{displaystyle C_{x}^{k}} ).

Свойства

• Касательное пространство n{displaystyle n} -мерного гладкого многообразия является n{displaystyle n} -мерным векторным пространством
• Для выбранной локальной карты x1,…,xn{displaystyle x_{1},dots ,x_{n}} , операторы Xi{displaystyle X_{i}}  дифференцирования по xi{displaystyle x_{i}} :

  Xif=∂f∂xi(p){displaystyle X_{i}f={frac {partial f}{partial x_{i}}}(p)} 

представляют собой базис Tp{displaystyle T_{p}} , называемый голономным базисом.

Связанные определения

• Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

См. также

• Касательный вектор
• Кокасательное пространство
• Касательное расслоение

1. ↑ Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
2. ↑ Laird E. Taylor, The Tangent Space to a Ck{displaystyle C^{k}}  Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
3. ↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.