Касательное пространство

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентости гладких кривы через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровеь абстракции в нём выше.

Как класс эквивалентости гладких кривых

Пусть ${\displaystyle M}$  — гладкое многообразие и ${\displaystyle p\in M}$ . Рассмотрим класс ${\displaystyle \Gamma _{p}}$  гладких кривых ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {I} \to M}$  таких, что ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ . Введём на ${\displaystyle \Gamma _{p}}$  отношение эквивалентости: ${\displaystyle \gamma \sim \gamma '}$  если

${\displaystyle |\gamma (t)-\gamma '(t)|=o(t)}$ 

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей ${\displaystyle p}$ .

Элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}}$  определяются как ${\displaystyle \sim }$ -классы эквивалентности ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ ; то есть

${\displaystyle T_{p}=\Gamma _{p}/\sim }$ .

В карте такой, что ${\displaystyle p}$  соответствует началу коодинат, кривые из ${\displaystyle \Gamma _{p}}$  можно складывать и умножать на число следующим образом

${\displaystyle (\gamma +\gamma ')(t)=\gamma (t)+\gamma '(t)}$ 

${\displaystyle (k\cdot \gamma )(t)=\gamma (k\cdot t)}$ 

При этом результат остаётся в ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ .

Эти операции продожаются до классов эквивалентности ${\displaystyle T_{p}=\Gamma _{p}/\sim }$ . Более того, индуцированные на ${\displaystyle T_{p}}$  операции уже не зависят от выбора карты. Так на ${\displaystyle T_{p}}$  определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть ${\displaystyle M}$  — гладкое многообразие. Тогда касательным к многообразию ${\displaystyle M}$  в точке ${\displaystyle p\in M}$  называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов ${\displaystyle X}$ , сопоставляющих каждой гладкой функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$  число ${\displaystyle Xf}$  и обладающих следующими свойствами:

• аддитивность: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,}$ 
• правило Лейбница: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).}$ 

На множестве всех дифференцирований в точке ${\displaystyle p}$  возникает естественная структура линейного пространства:

• ${\displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}$ 

  ${\displaystyle (k\cdot X)f=k\cdot (Xf).}$ 

Замечания

• Под гладкостью понимается ${\displaystyle C^{\infty }}$ -гладкость.
  • Для классе гладкости ${\displaystyle C^{k}}$  определение через дифференцирование в точке даёт бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. см ниже
• Для любой кривой ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{p}}$  для оператора ${\displaystyle Xf=(f\circ \gamma )'(0)}$  выполняются правило Лейбница и свойство адитивности. Это позволяет иденцифицировать касательные пространства получаемые в первом и вторым определении.

Через дифференцирование в точке, случай ${\displaystyle C^{k}}$ -дифференцируемого многообразия

Пусть ${\displaystyle M}$  — ${\displaystyle C^{k}}$ -дифференцируемое многообразие, ${\displaystyle C^{k}(M)}$  —кольцо дифференцируемых функций из ${\displaystyle M}$  в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Рассмотрим кольцо ${\displaystyle C_{x}^{k}}$  ростков функций в точке ${\displaystyle x\in M}$  (или, эквивалентно, локализацию ${\displaystyle C^{k}(M)}$  по отношению ко множеству всех функций, не равных нулю в точке ${\displaystyle x}$ ) и каноническую проекцию ${\displaystyle [-]:C^{k}(M)\to C_{x}^{k}}$ . Это кольцо локально, обозначим через ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$  его максимальный идеал; этот идеал состоит из всех ростков, обращающихся в ноль в точке ${\displaystyle x}$  и является ядром гомоморфизма колец ${\displaystyle [f]\mapsto f(x)}$ . Введем на ${\displaystyle C_{x}^{k}}$  структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма ${\displaystyle i:\mathbb {R} \to C_{x}^{k}}$ , ${\displaystyle i(a)=[\mathrm {const} _{a}]}$  и будем далее отождествлять ${\displaystyle \mathbb {R} }$  и ${\displaystyle i(\mathbb {R} )}$ . Имеет место равенство ${\displaystyle C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{k}}$ .^[1] Обозначим через ${\displaystyle C_{x,0}^{k}}$  подалгебру ${\displaystyle C_{x,0}^{k}}$ , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке ${\displaystyle x}$  в каждой карте; обозначим ${\displaystyle C_{x,d}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ . Заметим, что ${\displaystyle C_{x,d}^{k}\subset C_{x,0}^{k}}$ . Рассмотрим два векторных пространства:

• ${\displaystyle T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{x,0}^{k})^{*}}$  — это пространство имеет размерность ${\displaystyle \operatorname {dim} M}$  и называется касательным пространством к ${\displaystyle M}$  в точке ${\displaystyle x}$ ,
• ${\displaystyle (C_{x}^{k}/C_{x,d}^{k})^{*}=({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}}$  — это пространство изоморфно пространству дифференцирований ${\displaystyle C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}}$  со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} \subset C_{x}^{k}}$ , его иногда называют алгебраическим касательным пространством^[2] ${\displaystyle M}$  в точке ${\displaystyle x}$ .

Если ${\displaystyle k<\infty }$ , то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$  имеет размерность континуум, а ${\displaystyle ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}}$  содержит ${\displaystyle T_{x}M}$  как нетривиальное подпространство; в случае ${\displaystyle k=\infty }$  или ${\displaystyle k=\omega }$  эти пространства совпадают (и ${\displaystyle C_{x,0}^{k}=C_{x,d}^{k}}$ ).^[3] В обоих случаях ${\displaystyle T_{x}M}$  можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований ${\displaystyle C_{x}^{k}}$  со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , для вектора ${\displaystyle X\in T_{x}M}$  формула ${\displaystyle X(f)=X([f])}$  задает инъективный гомоморфизм ${\displaystyle T_{x}M}$  в пространство дифференцирований ${\displaystyle C^{k}(M)}$  со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (структура вещественной алгебры на ${\displaystyle C^{k}(M)}$  задается аналогично ${\displaystyle C_{x}^{k}}$ ).

• Касательное пространство ${\displaystyle n}$ -мерного гладкого многообразия является ${\displaystyle n}$ -мерным векторным пространством
• Для выбранной локальной карты ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ , операторы ${\displaystyle X_{i}}$  дифференцирования по ${\displaystyle x_{i}}$ :

  ${\displaystyle X_{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)}$ 

представляют собой базис ${\displaystyle T_{p}}$ , называемый голономным базисом.

• Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

• Касательный вектор
• Кокасательное пространство
• Касательное расслоение

1. ↑ Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
2. ↑ Laird E. Taylor, The Tangent Space to a ${\displaystyle C^{k}}$  Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
3. ↑ JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.