Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)
Содержание
- 1 Строгое определение
- 2 Замечание
- 3 Касательная как предельное положение секущей
- 4 Касательная к окружности
- 5 Вариации и обобщения
- 6 См. также
Строгое определение
- Пусть функция f:U(x0)⊂R→R{displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} } определена в некоторой окрестности точки x0∈R{displaystyle x_{0}in mathbb {R} } , и дифференцируема в ней: f∈D(x0){displaystyle fin {mathcal {D}}(x_{0})} . Касательной прямой к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется график линейной функции, задаваемой уравнением
- y=f(x0)+f′(x0)(x−x0),x∈R.{displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),quad xin mathbb {R} .}
- Если функция f{displaystyle f} имеет в точке x0{displaystyle x_{0}} бесконечную производную f′(x0)=±∞,{displaystyle f'(x_{0})=pm infty ,} то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением
- x=x0.{displaystyle x=x_{0}.}
Замечание
Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
. Угол α{displaystyle alpha } между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению
- tgα=f′(x0)=k,{displaystyle operatorname {tg} ,al
pha =f'(x_{0})=k,}
где tg{displaystyle operatorname {tg} }
обозначает тангенс, а k{displaystyle operatorname {k} } — коэффициент наклона касательной.Производная в точке x0{displaystyle x_{0}} равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
Касательная как предельное положение секущей
Пусть f:U(x0)→R{displaystyle fcolon U(x_{0})to mathbb {R} }
и x1∈U(x0).{displaystyle x_{1}in U(x_{0}).} Тогда прямая линия, проходящая через точки (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} и (x1,f(x1)){displaystyle (x_{1},f(x_{1}))} задаётся уравнением
- y=f(x0)+f(x1)−f(x0)x1−x0(x−x0).{displaystyle y=f(x_{0})+{frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}
Эта прямая проходит через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
для любого x1∈U(x0),{displaystyle x_{1}in U(x_{0}),} и её угол наклона α(x1){displaystyle alpha (x_{1})} удовлетворяет уравнению
- tgα(x1)=f(x1)−f(x0)x1−x0.{displaystyle operatorname {tg} ,alpha (x_{1})={frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.}
В силу существования производной функции f{displaystyle f}
в точке x0,{displaystyle x_{0},} переходя к пределу при x1→x0,{displaystyle x_{1}to x_{0},} получаем, что существует предел
- limx1→x0tgα(x1)=f′(x0),{displaystyle lim limits _{x_{1}to x_{0}}operatorname {tg} ,alpha (x_{1})=f'(x_{0}),}
а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол
- α=arctgf′(x0).{displaystyle alpha =operatorname {arctg} ,f'(x_{0}).}
Прямая, проходящая через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий tgα=f′(x0),{displaystyle operatorname {tg} ,alpha =f'(x_{0}),} задаётся уравнением касательной:
- y=f(x0)+f′(x0)(x−x0).{displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}
Касательная к окружности
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.
Свойства
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
- Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
- Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».
Вариации и обобщения
Односторонние полукасательные
- Если существует правая производная f+′(x0)<∞,{displaystyle f’_{+}(x_{0})<infty ,} то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
- y=f(x0)+f+′(x0)(x−x0),x⩾x0.{displaystyle y=f(x_{0})+f’_{+}(x_{0})(x-x_{0}),quad xgeqslant x_{0}.}
- Если существует левая производная f−′(x0)<∞,{displaystyle f’_{-}(x_{0})<in
fty ,} то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
- y=f(x0)+f−′(x0)(x−x0),x⩽x0.{displaystyle y=f(x_{0})+f’_{-}(x_{0})(x-x_{0}),quad xleqslant x_{0}.}
- Если существует бесконечная правая производная f+′(x0)=+∞(−∞),{displaystyle f’_{+}(x_{0})=+infty ;(-infty ),} то правой полукасательной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
- x=x0,y⩾f(x0)(y⩽f(x0)).{displaystyle x=x_{0},;ygeqslant f(x_{0});(yleqslant f(x_{0})).}
- Если существует бесконечная левая производная f−′(x0)=+∞(−∞),{displaystyle f’_{-}(x_{0})=+infty ;(-infty ),} то правой полукасательной к графику функции f{displaystyle f} в точке x0{displaystyle x_{0}} называется луч
- x=x0,y⩽f(x0)(y⩾f(x0)).{displaystyle x=x_{0},;yleqslant f(x_{0});(ygeqslant f(x_{0})).}
