Касательная прямая

• Разделы:
  • Замечание
  • Касательная как предельное положение секущей
  • Касательная к окружности
  • Вариации и обобщения
  • См. также

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Содержание

• 1 Строгое определение
• 2 Замечание
• 3 Касательная как предельное положение секущей
• 4 Касательная к окружности
  • 4.1 Свойства
• 5 Вариации и обобщения
  • 5.1 Односторонние полукасательные
• 6 См. также

Строгое определение

• Пусть функция f:U(x0)⊂R→R{displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} }  определена в некоторой окрестности точки x0∈R{displaystyle x_{0}in mathbb {R} } , и дифференцируема в ней: f∈D(x0){displaystyle fin {mathcal {D}}(x_{0})} . Касательной прямой к графику функции f{displaystyle f}  в точке x0{displaystyle x_{0}}  называется график линейной функции, задаваемой уравнением

  y=f(x0)+f′(x0)(x−x0),x∈R.{displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),quad xin mathbb {R} .} 

• Если функция f{displaystyle f}  имеет в точке x0{displaystyle x_{0}}  бесконечную производную f′(x0)=±∞,{displaystyle f'(x_{0})=pm infty ,}  то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

  x=x0.{displaystyle x=x_{0}.} 

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}

 . Угол α{displaystyle alpha }  между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

tgα=f′(x0)=k,{displaystyle operatorname {tg} ,al
pha =f'(x_{0})=k,} 

где tg{displaystyle operatorname {tg} }

  обозначает тангенс, а k{displaystyle operatorname {k} }  — коэффициент наклона касательной.Производная в точке x0{displaystyle x_{0}}  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

  в точке x0,{displaystyle x_{0},}  переходя к пределу при x1→x0,{displaystyle x_{1}to x_{0},}  получаем, что существует предел

limx1→x0tgα(x1)=f′(x0),{displaystyle lim limits _{x_{1}to x_{0}}operatorname {tg} ,alpha (x_{1})=f'(x_{0}),} 

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

α=arctgf′(x0).{displaystyle alpha =operatorname {arctg} ,f'(x_{0}).} 

Прямая, проходящая через точку (x0,f(x0)){displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}

  и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий tgα=f′(x0),{displaystyle operatorname {tg} ,alpha =f'(x_{0}),}  задаётся уравнением касательной:

y=f(x0)+f′(x0)(x−x0).{displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).} 

Касательная к окружности

  Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная f+′(x0)<∞,{displaystyle f’_{+}(x_{0})<infty ,}  то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f{displaystyle f}  в точке x0{displaystyle x_{0}}  называется луч

y=f(x0)+f+′(x0)(x−x0),x⩾x0.{displaystyle y=f(x_{0})+f’_{+}(x_{0})(x-x_{0}),quad xgeqslant x_{0}.} 

• Если существует левая производная f−′(x0)<∞,{displaystyle f’_{-}(x_{0})<in
  fty ,}  то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f{displaystyle f}  в точке x0{displaystyle x_{0}}  называется луч

y=f(x0)+f−′(x0)(x−x0),x⩽x0.{displaystyle y=f(x_{0})+f’_{-}(x_{0})(x-x_{0}),quad xleqslant x_{0}.} 

• Если существует бесконечная правая производная f+′(x0)=+∞(−∞),{displaystyle f’_{+}(x_{0})=+infty ;(-infty ),}  то правой полукасательной к графику функции f{displaystyle f}  в точке x0{displaystyle x_{0}}  называется луч

x=x0,y⩾f(x0)(y⩽f(x0)).{displaystyle x=x_{0},;ygeqslant f(x_{0});(yleqslant f(x_{0})).} 

• Если существует бесконечная левая производная f−′(x0)=+∞(−∞),{displaystyle f’_{-}(x_{0})=+infty ;(-infty ),}  то правой полукасательной к графику функции f{displaystyle f}  в точке x0{displaystyle x_{0}}  называется луч

x=x0,y⩽f(x0)(y⩾f(x0)).{displaystyle x=x_{0},;yleqslant f(x_{0});(ygeqslant f(x_{0})).} 

См. также

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль
• Теорема о секущих