Интеграл Римана

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс).

Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из некоторого количества вертикальных прямоугольников, основания которых составляют вместе отрезок интегрирования и получаются при разбиении отрезка (см. рисунки) на соответствующее количество маленьких отрезков.

Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами ${\displaystyle \Delta x_{i}}$  будет интегральной суммой:

${\displaystyle S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}.}$ 

Если существует предел, к которому сходится площадь S (интегральная сумма) для каждого разбиения - при хорошем «размельчении» разбиения (когда наибольшее из ${\displaystyle \Delta x_{i}}$  стремится к нулю), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$  определена вещественнозначная функция ${\displaystyle f}$ .

Рассмотрим разбиение отрезка ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b}$  — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок ${\displaystyle [a,b]}$  на n отрезков ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}],\;i=1\dots n}$ . Длина наибольшего из отрезков ${\displaystyle \delta R=\max(\Delta x_{i})}$  называется шагом разбиения, где ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$  — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ . Интегральной суммой называется выражение ${\displaystyle \sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}}$ .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ , то это число называется интегралом функции ${\displaystyle f}$  на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , то есть ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\delta R\to 0}\sigma _{x}}$ .

В этом случае, сама функция ${\displaystyle f}$  называется интегрируемой (по Риману) на ${\displaystyle [a,b]}$ ; в противном случае ${\displaystyle f}$  является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ .

Через суммы Дарбу

1. Невырожденность: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a}$ .
2. Положительность: Если интегрируемая функция ${\displaystyle f}$  неотрицательна, то её интеграл на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$  также неотрицателен.
3. Линейность: Если функции ${\displaystyle f}$  и ${\displaystyle g}$  интегрируемы, и ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ , то функция ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$  тоже интегрируема, и ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}$ .
4. Непрерывность: Если интегрируемые функции ${\displaystyle f_{i}}$  равномерно сходятся на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$  к функции ${\displaystyle f}$ , то ${\displaystyle f}$  интегрируема, и ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f_{i}(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции).
5. Аддитивность при разбиениях отрезка: Пусть ${\displaystyle a<b<c}$ . Функция ${\displaystyle f}$  интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a,c]}$ , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков ${\displaystyle [a,b]}$  и ${\displaystyle [b,c]}$ , при этом ${\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx}$ .
6. Если функция ${\displaystyle F}$  является первообразной непрерывной функции ${\displaystyle f}$ , то интеграл функции ${\displaystyle f}$  на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$  может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен ${\displaystyle F(b)-F(a)}$ . (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана). Непрерывная на отрезке функция ${\displaystyle f}$  всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt+C}$ , где ${\displaystyle C}$  — произвольная константа.

Непрерывная на отрезке функция всегда интегрируема по Риману (следствие свойств 1—5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле.

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману

Функция интегрируема по Риману на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , тогда и только тогда, когда на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).

Другой критерий

Для того, чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$  была интегрируемой на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , необходимо и достаточно, чтобы сумма ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\Delta _{i}}$  стремилась к нулю вместе с диаметром разбиения ${\displaystyle d}$ .

Здесь ${\displaystyle \omega _{i}}$  — колебание функции ${\displaystyle f(x)}$  в сегменте ${\displaystyle \Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]}$ ,

колебание ${\displaystyle \omega }$  функции ${\displaystyle f}$  на множестве ${\displaystyle E}$  — разность ${\displaystyle \sup _{E}f(x)-\inf _{E}f(x)}$ ,

диаметр разбиения ${\displaystyle d=\sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})}$ ^[1].

Некоторые классы функций, интегрируемых по Риману

Ниже перечислены некоторые классы функций, для которых значение интеграла Римана всегда существует и конечно^[2].

• Функции, непрерывные на отрезке ${\displaystyle [a,b].}$ 
• Функции, ограниченные на ${\displaystyle [a,b]}$  и имеющая на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва.
• Монотонные ограниченные функции.

Приведенное выше определение интеграла дано Коши^[3], оно применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году^[4]:101-103, на русском языке впервые в 1914 году^[5][6]) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).

• Интеграл Лебега и равносильные ему интеграл Даниэля, интеграл Юнга
• Интеграл Стилтьеса
• Кратный интеграл Римана
• Несобственный интеграл

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — М.: Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

• Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
• Строгое определение интеграла Римана.