Звезда Ходжа

Разделы:

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.

∗:Λq(T∗M)→Λn−q(T∗M){displaystyle *colon Lambda ^{q}(T^{*}M)to Lambda ^{n-q}(T^{*}M)}

*colon Lambda ^{q}(T^{*}M)to Lambda ^{{n-q}}(T^{*}M)

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Содержание

1 Определение
2 Дополнительные операторы
3 Свойства звёздочки Ходжа
4 Источники

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

Ω=f(X)dX0∧…∧dXn−1{displaystyle Omega =f(X)dX^{0}wedge ldots wedge dX^{n-1}}

Omega =f(X)dX^{0}wedge ldots wedge dX^{{n-1}}

ΩM1…Mn=f(X)εM1…Mn{displaystyle Omega _{M_{1}ldots M_{n}}=f(X)varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}}

Omega _{{M_{1}ldots M_{n}}}=f(X)varepsilon _{{M_{1}ldots M_{n}}}

где f(X):M→R{displaystyle f(X):Mto mathbb {R} }

$f(X):Mto {mathbb {R}}$ — неотрицательный скаляр на многообразии M{displaystyle M} $M$ , а εM1…Mn{displaystyle varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}} $varepsilon _{{M_{1}ldots M_{n}}}$ — полностью антисимметричный символ. ε0…n−1=+1{displaystyle varepsilon _{0ldots n-1}=+1} $varepsilon _{{0ldots n-1}}=+1$ .Даже в отсутствие метрики, если f(X)
>0{displaystyle f(X)>0} $f(X)>0$ , можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

Ωˇ=1f(X)∂∂X0∧⋯∧∂∂xn−1{displaystyle {check {Omega }}={frac {1}{f(X)}}{frac {partial }{partial {X^{0}}}}wedge cdots wedge {frac {partial }{partial {}{x^{n-1}}}}}

{displaystyle {check {Omega }}={frac {1}{f(X)}}{frac {partial }{partial {X^{0}}}}wedge cdots wedge {frac {partial }{partial {}{x^{n-1}}}}}

ΩˇM1…Mn=f−1(X)εM1…Mn{displaystyle {check {Omega }}^{M_{1}ldots M_{n}}=f^{-1}(X)varepsilon ^{M_{1}ldots M_{n}}}

{check {Omega }}^{{M_{1}ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)varepsilon ^{{M_{1}ldots M_{n}}}

здесь антисимметричный символ εM1…Mn{displaystyle varepsilon ^{M_{1}ldots M_{n}}}

$varepsilon ^{{M_{1}ldots M_{n}}}$ совпадает εM1…Mn{displaystyle varepsilon _{M_{1}ldots M_{n}}} $varepsilon _{{M_{1}ldots M_{n}}}$ .

В присутствии метрики Ω{displaystyle Omega }

$Omega$ с поднятыми индексами может отличаться от Ωˇ{displaystyle {check {Omega }}} ${check {Omega }}$ на знак: Ω=σΩˇ{displaystyle Omega =sigma {check {Omega }}} $Omega =sigma {check {Omega }}$ . Здесь и далее σ=sgn⁡det(gmk){displaystyle sigma =operatorname {sgn} det(g_{mk})} $sigma =operatorname{sgn} det(g_{{mk}})$

Введём операцию антисимметризации:

A[m1…mq]=1q!∑σ(m1…mq)(−1)sgn⁡(m1…mq)Aσ(m1…mq){displaystyle A_{[m_{1}ldots m_{q}]}={frac {1}{q!}}sum _{sigma (m_{1}ldots m_{q})}(-1)^{operatorname {sgn}(m_{1}ldots m_{q})}A_{sigma (m_{1}ldots m_{q})}}

A_{{[m_{1}ldots m_{q}]}}={frac {1}{q!}}sum _{{sigma (m_{1}ldots m_{q})}}(-1)^{{operatorname{sgn}(m_{1}ldots m_{q})}}A_{{sigma (m_{1}ldots m_{q})}}

. Суммирование ведётся по всем перестановкам σ(m1…mq){displaystyle sigma (m_{1}ldots m_{q})}

sigma (m_{1}ldots m_{q})

индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности sgn⁡(σ){displaystyle operatorname {sgn}(sigma )}

operatorname{sgn}(sigma )

. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: Ak[lm]=12!(Aklm−Akml){displaystyle A_{k[lm]}={frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})}

A_{{k[lm]}}={frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

; Ak[lBpm]=12!(AklBpm−AkmBpl){displaystyle A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})}

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

AA…⌊K1…Kk⌋B…C…⌊K1…Kk⌋D…=1k!AA…K1…KkB…C…K1…KkD…{displaystyle A^{Aldots lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor Bldots }{}_{Cldots lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor Dldots }={frac {1}{k!}}A^{Aldots K_{1}ldots K_{k}Bldots }{}_{Cldots K_{1}ldots K_{k}Dldots }}

A^{{Aldots lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor Bldots }}{}_{{Cldots lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor Dldots }}={frac {1}{k!}}A^{{Aldots K_{1}ldots K_{k}Bldots }}{}_{{Cldots K_{1}ldots K_{k}Dldots }}

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки ⌊⌋{displaystyle lfloor ;rfloor }

$lfloor ;rfloor$ только по упорядоченным наборам не деля на k!{displaystyle k!} $k!$ , это связано с тем, что разные наборы индексов K1…Kk{displaystyle K_{1}ldots K_{k}} , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

(A,B)Mk+1…Mq(k)Nk+1…Np=A⌊K1…Kk⌋Mk+1…Mq⌊K1…Kk⌋Nk+1…Np{displaystyle (A,B)_{M_{k+1}ldots M_{q}}^{(k)}{}^{N_{k+1}ldots N_{p}}=A_{lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor M_{k+1}ldots M_{q}}{}^{lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor N_{k+1}ldots N_{p}}}

{displaystyle (A,B)_{M_{k+1}ldots M_{q}}^{(k)}{}^{N_{k+1}ldots N_{p}}=A_{lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor M_{k+1}ldots M_{q}}{}^{lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor N_{k+1}ldots N_{p}}}

(A,B)M1…Mq−k(k)_N1…Np−k=AM1…Mq−k⌊K1…Kk⌋N1…Np−k⌊K1…Kk⌋{displaystyle (A,B)_{M_{1}ldots M_{q-k}}^{underline {(k)}}{}^{N_{1}ldots N_{p-k}}=A_{M_{1}ldots M_{q-k}lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor }{}^{N_{1}ldots N_{p-k}lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor }}

{displaystyle (A,B)_{M_{1}ldots M_{q-k}}^{underline {(k)}}{}^{N_{1}ldots N_{p-k}}=A_{M_{1}ldots M_{q-k}lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor }{}^{N_{1}ldots N_{p-k}lfloor K_{1}ldots K_{k}rfloor }}

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма Ω{displaystyle Omega }

$Omega$ и поливектор Ωˇ{displaystyle {check {Omega }}} ${check {Omega }}$ можно ввести операцию ∗{displaystyle *} $*$ , превращающую поливектор B{displaystyle B} $B$ степени p{displaystyle p} $p$ в дифференциальную форму ∗B{displaystyle *B} $*B$ степени n−p{displaystyle n-p} $n-p$ , и обратную операцию ∗−1{displaystyle *^{-1}} $*^{{-1}}$ , превращающую форму A{displaystyle A} $A$ степени q{displaystyle q} $q$ в поливектор ∗−1A{displaystyle *^{-1}A} $*^{{-1}}A$ степени n−q{displaystyle n-q} $n-q$

∗B=(Ω,B)(p){displaystyle *B=(Omega ,B)^{(p)}}

*B=(Omega ,B)^{{(p)}}

∗−1A=(A,Ωˇ)(q)_{displaystyle *^{-1}A=(A,{check {Omega }})^{underline {(q)}}}

*^{{-1}}A=(A,{check {Omega }})^{{underline {(q)}}}

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

(∗B)mq+1…mn=f(X)q!Bm1…mqεm1…mn{displaystyle (*B)_{m_{q+1}ldots m_{n}}={frac {f(X)}{q!}}B^{m_{1}ldots m_{q}}varepsilon _{m_{1}ldots m_{n}}}

(*B)_{{m_{{q+1}}ldots m_{n}}}={frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}ldots m_{q}}}varepsilon _{{m_{1}ldots m_{n}}}

Поскольку ∗−1∗B=B{displaystyle *^{-1}*B=B}

$*^{{-1}}*B=B$ и ∗∗−1A=A{displaystyle **^{-1}A=A} $**^{{-1}}A=A$ , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов ∗{displaystyle *}

$*$ и ∗−1{displaystyle *^{-1}} $*^{{-1}}$ введём пару операторов: ∗ˇ{displaystyle {check {*}}} ${check {*}}$ и ∗ˇ−1{displaystyle {check {*}}^{-1}} ${check {*}}^{{-1}}$ , отличающихся от них знаком.

∗ˇB=(Ω,B)(p)_{displaystyle {check {*}}B=(Omega ,B)^{underline {(p)}}}

{check {*}}B=(Omega ,B)^{{underline {(p)}}}

∗ˇ−1A=(A,Ωˇ)(q){displaystyle {check {*}}^{-1}A=(A,{check {Omega }})^{(q)}}

{check {*}}^{{-1}}A=(A,{check {Omega }})^{{(q)}}

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика gmk{displaystyle g_{mk}}

$g_{{mk}}$ . Обозначим g=det(gmk){displaystyle g=det(g_{mk})} $g=det(g_{{mk}})$ .

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой gmk{displaystyle g_{mk}}

$g_{{mk}}$ называется форма Ω=|g|dX0∧…∧dXn−1=|g|dnX{displaystyle Omega ={sqrt {|g|}}dX^{0}wedge ldots wedge dX^{n-1}={sqrt {|g|}}d^{n}X} $Omega ={sqrt {|g|}}dX^{0}wedge ldots wedge dX^{{n-1}}={sqrt {|g|}}d^{n}X$ В компонентах:

Ωm1…mn=|g|εm1…mn{displaystyle Omega _{m_{1}ldots m_{n}}={sqrt {|g|}}varepsilon _{m_{1}ldots m_{n}}}

Omega _{{m_{1}ldots m_{n}}}={sqrt {|g|}}varepsilon _{{m_{1}ldots m_{n}}}

Ωm1…mn=|g|gεm1…mn=sgn⁡(g)|g|εm1…mn{displaystyle Omega ^{m_{1}ldots m_{n}}={frac {sqrt {|g|}}{g}}varepsilon ^{m_{1}ldots m_{n}}={frac {operatorname {sgn}(g)}{sqrt {|g|}}}varepsilon ^{m_{1}ldots m_{n}}}

Omega ^{{m_{1}ldots m_{n}}}={frac {{sqrt {|g|}}}{g}}varepsilon ^{{m_{1}ldots m_{n}}}={frac {operatorname{sgn}(g)}{{sqrt {|g|}}}}varepsilon ^{{m_{1}ldots m_{n}}}

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

Am1…mn=Al1…lngm1l1⋯gmnln{displaystyle A_{m_{1}ldots m_{n}}=A^{l_{1}ldots l_{n}}g_{m_{1}l_{1}}cdots g_{m_{n}l_{n}}}

A_{{m_{1}ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}cdots g_{{m_{n}l_{n}}}

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.(∗A)mq+1…mn=1q!Ωm1…mnAl1…lqgm1l1⋯gmqlq{displaystyle (*A)_{m_{q+1}ldots m_{n}}={frac {1}{q!}}Omega _{m_{1}ldots m_{n}}A_{l_{1}ldots l_{q}}g^{m_{1}l_{1}}cdots g^{m_{q}l_{q}}}

$(*A)_{{m_{{q+1}}ldots m_{n}}}={frac {1}{q!}}Omega _{{m_{1}ldots m_{n}}}A_{{l_{1}ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

δ=∗−1d∗{displaystyle delta =*^{-1}d*}

delta =*^{{-1}}d*

(δA)M1…Mq−1=1f(X)∂Mq(f(X)AM1…Mq){displaystyle (delta A)^{M_{1}ldots M_{q-1}}={frac {1}{f(X)}}partial _{M_{q}}(f(X)A^{
M_{1}ldots M_{q}})}

(delta A)^{{M_{1}ldots M_{{q-1}}}}={frac {1}{f(X)}}partial _{{M_{q}}}(f(X)A^{{M_{1}ldots M_{q}}})

В присутствие метрики оператор дивергенции δ{displaystyle delta }

$delta$ выражается через оператор ковариантной производной ∇{displaystyle nabla } $nabla$ , определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

(δA)M1…Mq−1=(∇,A)(1)_M1…Mq−1=∇MqAM1…Mq=1|g|∂Mq(|g|AM1…Mq){displaystyle (delta A)^{M_{1}ldots M_{q-1}}=(nabla ,A)^{{underline {(1)}}M_{1}ldots M_{q-1}}=nabla _{M_{q}}A^{M_{1}ldots M_{q}}={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{M_{q}}({sqrt {|g|}}A^{M_{1}ldots M_{q}})}

(delta A)^{{M_{1}ldots M_{{q-1}}}}=(nabla ,A)^{{underline {(1)}M_{1}ldots M_{{q-1}}}}=nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}ldots M_{q}}}={frac {1}{{sqrt {|g|}}}}partial _{{M_{q}}}({sqrt {|g|}}A^{{M_{1}ldots M_{q}}})

Иногда операцию d{displaystyle d}

$d$ (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию δ{displaystyle delta } $delta$ — дивергенцией. Для 1-формы операция δ{displaystyle delta } $delta$ задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан Δ{displaystyle Delta }

$Delta$ от q{displaystyle q} $q$ -формы A{displaystyle A} $A$ определяется формулой:

ΔA=(−1)q(δd−dδ)A{displaystyle Delta A=(-1)^{q}(delta d-ddelta )A}

{displaystyle Delta A=(-1)^{q}(delta d-ddelta )A}

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа-Бельтрами:

Δφ=∇M∇Mφ=1|g|∂M|g|gMN∂Nφ{displaystyle Delta varphi =nabla _{M}nabla ^{M}varphi ={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{M}{sqrt {|g|}}g^{MN}partial _{N}varphi }

Delta varphi =nabla _{M}nabla ^{M}varphi ={frac {1}{{sqrt {|g|}}}}partial _{M}{sqrt {|g|}}g^{{MN}}partial _{N}varphi

Для скаляра Δ=∇M∇M{displaystyle Delta =nabla _{M}nabla ^{M}}

$Delta =nabla _{M}nabla ^{M}$ . Если q>0{displaystyle q>0} $q>0$ , то для произвольной метрики в Δ{displaystyle Delta } $Delta$ появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае q=1{displaystyle q=1} $q=1$

(ΔA)K=∇M∇MAK−RKMAM{displaystyle (Delta A)_{K}=nabla _{M}nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}}

(Delta A)_{K}=nabla _{M}nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

где RKM{displaystyle R_{K}{}^{M}}

$R_{K}{}^{M}$ — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Свойства звёздочки Ходжа

Источники

Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html