Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.
В присутствии метрики с поднятыми индексами может отличаться от на знак: . Здесь и далее
Введём операцию антисимметризации:
. Суммирование ведётся по всем перестановкам индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности . Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: ; .
Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:
.
Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки только по упорядоченным наборам не деля на , это связано с тем, что разные наборы индексов , отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.
Определим теперь тензоры:
Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.
Общее определение звезды Ходжа
Используя формуобъёма и поливектор можно ввести операцию , превращающую поливектор степени в дифференциальную форму степени , и обратную операцию , превращающую форму степени в поливектор степени
Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:
Поскольку и , то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q
Помимо операторов и введём пару операторов: и , отличающихся от них знаком.
Звезда Ходжа в присутствии метрики
Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика . Обозначим .
Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой называется форма
В компонентах:
Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:
Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.
Дополнительные операторы
На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:
В присутствие метрики оператор дивергенции выражается через оператор ковариантной производной, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:
Иногда операцию (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию — дивергенцией. Для 1-формы операция задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)