Замкнутое множество

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ . Множество ${\displaystyle V\subset X}$  называется замкнутым относительно топологии ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ , если существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},}$  такое что ${\displaystyle V=X\setminus U}$ .

Замыканием множества ${\displaystyle U}$  топологического пространства ${\displaystyle X}$  называют минимальное по включению замкнутое множество ${\displaystyle Z}$  содержащее ${\displaystyle U}$ . Замыкание множества ${\displaystyle U\subset X}$  обычно обозначается ${\displaystyle {\bar {U}}}$ , ${\displaystyle \mathop {\rm {Cl}} U}$  или ${\displaystyle \mathop {\rm {Cl}} _{X}U}$  если надо подчеркнуть что ${\displaystyle {\bar {U}}}$  рассматривается как множество в пространстве ${\displaystyle X}$ .

Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: ${\displaystyle U\in \mathrm {Cl} ({\mathcal {T}})\Leftrightarrow \mathrm {cl} \;U=U}$ .

• Пустое множество ${\displaystyle \emptyset }$  всегда замкнуто.
• Отрезок ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$  замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, ибо его дополнение открыто.
• Множество ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$  замкнуто в пространстве рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

• Открытое множество