Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица E=[eij]{displaystyle E=[e_{ij}]}, элементы главной диагонали которой (eii{displaystyle e_{ii}}) равны единице поля, а остальные равны нулю.Единичная матрица размера n×n{displaystyle ntimes n} обычно обозначается En{displaystyle E_{n}} и представляет собой тождественное (идентичное) преобразование векторов в пространстве Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, а также единицу в матричных группах (по умножению). Кроме обозначения E также применяется обозначение I (от англ. Identity matrix) — особенно в зарубежной литературе, где Е используется для обозначения оператора математического ожидания.Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

E1=[1], E2=[1001], E3=[100010001], ⋯, En=[10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1]{displaystyle E_{1}={begin{bmatrix}1end{bmatrix}}, E_{2}={begin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix}}, E_{3}={begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}, cdots , E_{n}={begin{bmatrix}1&0&cdots &0\0&1&cdots &0\vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&cdots &1end{bmatrix}}}

Реже, «единичной» называют и матрицу, целиком состоящую из единиц, и потому термин можно признать неудачным, хотя и закрепившимся в русской литературе, аналогом однозначного английского термина «identity matrix».

Свойства единичных матриц

Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:

AE=EA=A{displaystyle AE=EA=A} 

Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:

A0=E{displaystyle A^{0}=E} 

При умножении матрицу на обратную ей тоже получается единичная матрица:

AA−1=E{displaystyle !AA^{-1}=E}