Евклидово пространство

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ),}$  обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность: для любых векторов ${\displaystyle u,v,w}$  и для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b\quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)}$  и ${\displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);}$ 
• Симметричность: для любых векторов ${\displaystyle u,v\quad (u,v)=(v,u);}$ 
• Положительная определённость: для любого ${\displaystyle u\quad (u,u)\geqslant 0,}$  причём ${\displaystyle (u,u)=0\Rightarrow u=0.}$ 

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством^[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$  состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$  скалярное произведение в котором определяется формулой ${\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$ 

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора ${\displaystyle u}$  определяется как ${\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}}$  и обозначается ${\displaystyle |u|.}$ ^[2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что ${\displaystyle |au|=|a||u|,}$  то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами ${\displaystyle u}$  и ${\displaystyle v}$  определяется по формуле ${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).}$  Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}.}$ 

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы ${\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)}$  был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство ${\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.}$  Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: ${\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.}$  Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$  задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  координатного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  задаётся формулой ${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$ 

Ортонормированные базисы

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$  и ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$  в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле ${\displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.}$  В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство изоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора ${\displaystyle x}$  на подпространство ${\displaystyle U}$  — это вектор ${\displaystyle h,}$  ортогональный ${\displaystyle U,}$  такой что ${\displaystyle x}$  представим в виде ${\displaystyle u+h,}$  где ${\displaystyle u\in U.}$  Расстояние между концами векторов ${\displaystyle u}$  и ${\displaystyle x}$  является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора ${\displaystyle x}$  до подпространства ${\displaystyle U.}$  Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор ${\displaystyle x}$  евклидова пространства задаёт линейный функционал ${\displaystyle x^{*}}$  на этом пространстве, определяемый как ${\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).}$  Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством^[4] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор ${\displaystyle v,}$  переводящий точку ${\displaystyle p}$  в точку ${\displaystyle p+v.}$  Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n×n, удовлетворяющих условию ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E,,}$  где ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}}$  — транспонированная матрица, а ${\displaystyle E}$  — единичная матрица.

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• ${\displaystyle \mathbb {E} ^{1}}$  размерности ${\displaystyle 1}$  (вещественная прямая)
• ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$  размерности ${\displaystyle 2}$  (евклидова плоскость)
• ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$  размерности ${\displaystyle 3}$  (евклидово трехмерное пространство)

Более абстрактный пример:

• пространство вещественных многочленов ${\displaystyle p(x)}$  степени, не превосходящей ${\displaystyle n}$ , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ ).

• Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр)
• Гиперсфера

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

• Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства.
• Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства.
• Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства.

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.