Дифференциал (математика)

Обычно дифференциал функции ${\displaystyle f}$  обозначается ${\displaystyle df}$ . Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\displaystyle {\rm {d}}f}$  шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке ${\displaystyle x_{0}}$  обозначается ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ , а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}}$  или ${\displaystyle df[x_{0}]}$ , а также ${\displaystyle df}$ , если значение ${\displaystyle x_{0}}$  ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке ${\displaystyle x_{0}}$  от ${\displaystyle h}$  может обозначаться как ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$ , а иногда ${\displaystyle df_{x_{0}}(h)}$  или ${\displaystyle df[x_{0}](h)}$ , а также ${\displaystyle df(h)}$ , если значение ${\displaystyle x_{0}}$  ясно из контекста.

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$ . При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал ${\displaystyle dx}$  вводится как часть определения интеграла.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})}$ . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции ${\displaystyle f}$  и тождественной функции ${\displaystyle x}$  верно соотношение

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.}$ 

Для функций

Дифференциал функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$  может быть определён как линейная функция

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}$ 

где ${\displaystyle f'(x_{0})}$  обозначает производную ${\displaystyle f}$  в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , а ${\displaystyle h}$  — приращение аргумента при переходе от ${\displaystyle x_{0}}$  к ${\displaystyle x_{0}+h}$ .

Таким образом ${\displaystyle df}$  есть функция двух аргументов ${\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}$ .

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$ , линейно зависящая от ${\displaystyle h}$ , и для которой верно следующее соотношение

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}$ 

Для отображений

Дифференциалом отображения ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$  называют линейный оператор ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  такой, что выполняется условие

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h).}$ 

• Отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$  называется дифференцируемым в точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$  если определён дифференциал ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ .

• Матрица линейного оператора ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$  равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные ${\displaystyle f}$ .
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции ${\displaystyle f}$  связан с её градиентом ${\displaystyle \nabla f}$  следующим определяющим соотношением

  ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle }$ 

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально ${\displaystyle dx}$  применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

• Дифференциалы высших порядков
• Внешний дифференциал
• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Производная Пеано
• Производная Фреше

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»