Дифференциальный оператор

Разделы:

Эту статью необходимо исправить в соответствии с правилом Википедии об оформлении статей. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью.

Дифференциальный оператор — обобщение оператора дифференцирования. Дифференциальный оператор (вообще говоря, не непрерывный, не ограниченный и не линейный) — оператор, определенный некоторым дифференциальным выражением и действующий в пространствах (вообще говоря, векторнозначных) функций (или сечений дифференцируемых расслоений) на дифференцируемых многообразиях, или в пространствах, сопряженных к пространствам этого типа.

Дифференциальное выражение — это такое отображение λ{displaystyle lambda } $lambda$ множества P{displaystyle {mathfrak {P}}} ${mathfrak P}$ в пространстве сечений расслоения ξ{displaystyle xi } $xi$ с базой M{displaystyle M} $M$ в пространство сечений расслоения η{displaystyle eta } $eta$ с той же базой, что для любой точки p∈M{displaystyle pin M} $pin M$ и любых сечений f,g∈P{displaystyle f,gin {mathfrak {P}}} ${displaystyle f,gin {mathfrak {P}}}$ из совпадений их k{displaystyle k} $k$ -струй в точке p{displaystyle p} $p$ следует совпадение λf{displaystyle lambda f} $lambda f$ и g{displaystyle g} $g$ в той же точке; наименьшее из чисел k{displaystyle k} $k$ , удовлетворяющих этому условию для всех p∈M{displaystyle pin M} $pin M$ , называется порядком дифференциального выражения и порядком дифференциального оператора, определенного этим выражением.

На многообразии M{displaystyle M} $M$ без края дифференциальный оператор часто является расширением оператора, естественно определяемого фиксированным дифференциальным выражением на некотором (открытом в подходящей топологии) множестве бесконечно (или достаточно много раз) дифференцируемых сечений данного векторвого расслоения ξ{displaystyle xi } $xi$ с базой M{displaystyle M} $M$ и, таким образом, допускает естественное обобщение на случай пучков ростков сечений дифференцируемых расслоений. На многообразии M{displaystyle M} $M$ с краем ∂M{displaystyle partial M} $partial M$ дифференциальный оператор L{displaystyle L} $L$ часто определяется как расширение аналогичного оператора, естественно определенного дифференциальным выражением на множестве тех дифференцируемых функций (или сечений расслоения), ограничения которых на ∂M{displaystyle partial M} $partial M$ лежат в ядре некоторого дифференциального оператора l{displaystyle l} $l$ на ∂M{displaystyle partial M} $partial M$ (или удовлетворяет каким-либо другим условиям, определяемым теми или иными требованиями к области значений оператора l{displaystyle l} $l$ на ограничениях функций из области определения оператора L{displaystyle L} $L$ , например, неравенствами); дифференциальный оператор l{displaystyle l} $l$ называется определяющим граничные условия для дифференциального оператора L{displaystyle L} $L$ . Линейные дифференциальные операторы в пространствах, сопряженных к пространствам функций (или сечений), определяются как операторы, сопряженные к дифференциальным операторам, указанного выше вида в этих пространствах.

Примеры

1) Пусть F{displaystyle F}

$F$ — действительная функция k+2{displaystyle k+2} $k+2$ переменных x,y0,y1,…,yk{displaystyle x,;y_{0},;y_{1},;ldots ,;y_{k}} $x,;y_{0},;y_{1},;ldots ,;y_{k}$ , определенная в некотором прямоугольнике Δ=I×J0×J1×…×Jk{displaystyle Delta =Itimes J_{0}times J_{1}times ldots times J_{k}} $Delta =Itimes J_{0}times J_{1}times ldots times J_{k}$ ; дифференциальное выражение

Du=defF(x,u,dudx,…,dkudxk){displaystyle Du{stackrel {def}{=}}Fleft(x,;u,;{frac {du}{dx}},;ldots ,;{frac {d^{k}u}{dx^{k}}}right)} ${displaystyle Du{stackrel {def}{=}}Fleft(x,;u,;{frac {du}{dx}},;ldots ,;{frac {d^{k}u}{dx^{k}}}right)}$

(где функция F{displaystyle F}

$F$ обычно удовлетворяет некоторым условиям регулярности — измеримости, непрерывности, дифференцируемости и т. п.) определяет дифференциальный оператор D{displaystyle D} $D$ на многообразии Δ{displaystyle Delta } $Delta$ , область определения которого Ω{displaystyle Omega } $Omega$ состоит из всех функций u∈Ck(Δ){displaystyle uin C^{k}(Delta )} $uin C^{k}(Delta )$ , удовлетворяющих условию u(i)(x)∈Ji{displaystyle u^{(i)}(x)in J_{i}} $u^{{(i)}}(x)in J_{i}$ для i=0,1,…,k{displaystyle i=0,;1,;ldots ,;k} $i =0,;1,;ldots ,;k$ ; если F{displaystyle F} $F$ непрерывна, то D{displaystyle D} $D$ может рассматриваться как оператор в C(I){displaystyle C(I)} $C(I)$ с областью определения Ω{displaystyle Omega } $Omega$ . Такой дифференциальный оператор D{displaystyle D} $D$ называется общим обыкновенным дифференциальным оператором.

Если F{displaystyle F}

$F$ зависит от yk{displaystyle y_{k}} $y_{k}$ , то порядок D{displaystyle D} $D$ равен k{displaystyle k} $k$ . Дифференциальный оператор D{displaystyle D} $D$ называется квазилинейным, если F{displaystyle F} $F$ линейно зависит от yk{displaystyle y_{k}} $y_{k}$ ; линейным, если F{displaystyle F} $F$ линейно зависит от y0,y1,…,yk{displaystyle y_{0},;y_{1},;ldots ,;y_{k}} $y_{0},;y_{1},;ldots ,;y_{k}$ ; линейным с постоянными коэффициентами, если F{displaystyle F} $F$ не зависит от x{displaystyle x} $x$ и D{displaystyle D} $D$ является линейным дифференциальным оператором. Остальные дифференциальные операторы называются нелинейными. Квазилинейный дифференциальный оператор при некоторых условиях регулярности функции F{displaystyle F} $F$ может быть расширен до дифференциального оператора из одного пространства Соболева в другое.

2) Пусть x=(x1,…,xN){displaystyle x=(x^{1},;ldots ,;x^{N})}

$x=(x^{1},;ldots ,;x^{N})$ пробегает область S{displaystyle {mathfrak {S}}} ${mathfrak S}$ в RN{displaystyle mathbb {R} ^{N}} ${displaystyle mathbb {R} ^{N}}$ F=F(x,u,…,Dn(u)){displaystyle F=F(x,;u,;ldots ,;D^{n}(u))} $F=F(x,;u,;ldots ,;D^{n}(u))$ — дифференциальное выражение определяемое действительной функцией F{displaystyle F} $F$ на произвлении области S{displaystyle {mathfrak {S}}} на некоторый открытый прямоугольник ω{displaystyle omega } $omega$ , здесь D(n)(u){displaystyle D^{(n)}(u)} $D^{{(n)}}(u)$ — набор частных производных вида Dαu=∂α1+…+αN(∂x1)α1…(∂xN)αN{displaystyle D^{alpha }u={frac {partial ^{alpha _{1}+ldots +alpha _{N}}}{(partial x^{1})^{alpha _{1}}ldots (partial x^{N})^{alpha _{N}}}}} $D^{alpha }u={frac {partial ^{{alpha _{1}+ldots +alpha _{N}}}}{(partial x^{1})^{{alpha _{1}}}ldots (partial x^{N})^{{alpha _{N}}}}}$ , где a1+…+aN⩽n{displaystyle a_{1}+ldots +a_{N}leqslant n} $a_{1}+ldots +a_{N}leqslant n$ , а функция F{displaystyle F} $F$ удовлетворяет некоторым условиям регулярности. Определенный этим выражением дифференциальный оператор на пространстве достаточно дифференцируемых функций на S×ω{displaystyle {mathfrak {S}}times omega } ${mathfrak {S}}times omega$ называется общим дифференциальным оператором с частными производными. Аналогично 1) определяются нелинейные, квазилинейные и линейные дифференциальные операторы с частными производными и порядок дифференциального оператора; дифференциальный оператор называется эллиптическим, гиперболическим или параболическим, если он определяется дифференциальным выражением соответствующего типа. Иногда рассматриваются функции F{displaystyle F} $F$ , зависящие от производных всех порядков (например, в виде формальной линейной комбинации их); таким дифференциальным выражениям, не определяющим дифференциальный оператор в обычном смысле, тем не менее могут быть сопоставлены некоторые операторы (например, в пространствах ростков аналитических функций), называется дифференциальным оператором бесконечного порядка.

3) Предыдущие примеры могут быть перенесены на случай комплексного поля, локально компактного вполне несвязного поля и (по крайней мере в случае линейных дифференциальных операторов) даже в более общую ситуацию.

4) Системы дифференциальных выражений определяют дифференциальные операторы в пространствах вектор-функций. Например, дифференциальный оператор Коши-Римана, определенный дифференциальным выражением {∂u∂x−∂v∂y,∂u∂y+∂v∂x}{displaystyle left{{frac {partial u}{partial x}}-{frac {partial v}{partial y}},;{frac {partial u}{partial y}}+{frac {partial v}{partial x}}right}}

${displaystyle left{{frac {partial u}{partial x}}-{frac {partial v}{partial y}},;{frac {partial u}{partial y}}+{frac {partial v}{partial x}}right}}$ преобразует пространство пар гармонических функций на плоскости в себя.

В определении дифференциального оператора и его обобщений (кроме обычных производных) часто используются не только обобщенные производные (естественно возникающие при рассмотрении расширений дифференциальных операторов, заданных на дифференцируемых функциях) и слабые производные (связанные с переходом к сопряженному оператору), но и производные дробного и отрицательного порядков. Более того, само дифференцирование заменяется преобразованием Фурье (или другим интегральным преобразованием), применяемым к области определения и значения такого обобщенного дифференциального оператора так, чтобы получить возможно более простое представление соответствующей дифференциальному оператору функции F{displaystyle F}

$F$ и достичь разумной общности постановки задач и хороших свойств рассматриваемых объектов, а также построить функциональное или операционное исчисление (продолжающее соответствие между оператором дифференцирования и оператором умножения на независимую переменную, осуществляемое преобразованием Фурье).

Такие вопросы теории дифференциальных уравнений, как существование, единственность, регулярность, непреры
вная зависимость решений от начальных данных или правой части, явный вид решения дифференциального уравнения, определенного данным дифференциальным выражением, естественно интерпретируются в терминах теории операторов как задачи дифференциального оператора, определенного данным дифференциальным выражением в подходящих функциональных пространствах, а именно — как задачи о ядре, образе, изучении структуры области определения данного дифференциального оператора L{displaystyle L}

$L$ или его расширения, непрерывности обратного оператора к данному дифференциальному оператору и явного построения этого обратного оператора. Вопросы аппроксимации решений и построения приближенных решений дифференциальных уравнений также находят естественное обобщение и усовершенствование в задачах о соответствующих дифференциальных операторах, а именно — о подборе таких естественных топологий в области определения и области значений, чтобы оператор L{displaystyle L} $L$ (при условии единственности решений) осуществлял гомеоморфизм области определения и области значений в этих топологиях (эта теория связана с теорией интерполяции и шкал функциональных пространств, особенно в случаях линейных и квазилинейных дифференциальных операторов), или в подборе дифференциальных операторов, близких к данному в том или ином смысле (что позволяет, используя различные топологии в множестве дифференциальных операторов, обосновывать методы аппроксимации уравнений, в том числе метод регуляризации, метод штрафа и некоторые итерационные методы регуляризации). Теория дифференциальных операторов позволяет применить классические методы теории операторов, например теорию вполне непрерывных операторов, метод сжатых отображений в различных теоремах существования и единственности решений дифференциальных уравнений, в теории бифуркации решений и в нелинейных задачах о собственных значениях. Часто оказывается возможным использовать наличие в функциональных пространствах, где определен дифференциальный оператор, естественной структуры порядка (в частности, применить теорию монотонных операторов), использовать методы линейного анализа (теорию двойственности, теорию выпуклых множеств, теорию сопряженных операторов, теорию диссипативных операторов), вариационные методы и теорию экстремальных задач, а также наличие некоторых дополнительных структур в области определения области значений (например, комплексной, симплектической и т. д.) для выяснения структуры области значений и ядра дифференциального оператора, то есть получения информации о классе решений соответствующих уравнений. Ряд задач, связанных с дифференциальными выражениями, приводит к необходимости изучения дифференциальных неравенств, естественно связанных с многозначными дифференциальными операторами.

Таким образом, теория дифференциальных операторов позволяет разрешить ряд трудностей классической теории дифференциальных уравнений. Использование различных расширений обычных дифференциальных операторов приводит к понятию обобщенного решения соответствующего дифференциального уравнения {которое в ряде случаев, связанных, напрмер, с эллиптическими задачами, оказывается необходимо классическим), а использование линейной структуры позволяет вводить понятие слабых решений дифференциальных уравнений. При выборе подходящего расширения дифференциального оператора, определенного дифференциальным выражением, важную роль играют связанные с конкретным видом последнего априорные оценки для решений, которые позволяют указать такие функциональные пространства, что в этих пространствах дифференциальных операторов непрерывен или ограничен.

Но теория дифференциальных операторов даст возможность поставить и решить и ряд принципиально новых задач по сравнению с классическими задачами теории дифференциальных уравнений. Так, для нелинейных операторов представляют интерес изучение структуры множества его неподвижных точек и действие оператора в их окрестности, а также классификация этих о
собых точек и вопрос об устойчивости типа особой точки при возмущении данного дифференциального оператора; для линейных дифференциальных операторов кроме указанных выше задач, представляют интерес задачи об описании и изучении спектра дифференциальных операторов, построения его резольвенты, вычислений индекса, описание структуры инвариантных подпространств данного дифференциального оператора, построение связанного с данным дифференциальным оператором гармонического анализа (в частности, разложения по собственным функциям, что требует предварительного изучения вопросов полноты системы собственных и присоединенных функций), изучения линейных и нелинейных возмущений данного дифференциального оператора. Эти задачи представляют особый интерес для эллиптических дифференциальных операторов, порожденных симметричными дифференциальными выражениями, в связи с теорией самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (в частности, со спектральной теоремой для таких операторов и теорией расширений симметричных операторов). Теория ряда задач гиперболических и параболических (не обязательно линейных) дифференциальных операторов связана с теорией групп и полугрупп преобразований локально выпуклых пространств.

Пожалуй, наиболее исследованный (помимо линейных) класс дифференциальных операторов, к тому же имеющий широкое практическое применение, — дифференциальные операторы, не изменяющиеся вообще или меняющиеся по вполне определенному закону при действии на область их определения и соответствующим образом на дифференциальное выражение некоторых преобразовании, составляющих группу G{displaystyle G}

$G$ (или полугруппу). Таковы, например, инвариантные дифференциальные операторы, тесно связанные с представлениями группы G{displaystyle G} $G$ ; ковариантная производная или, более общо, пульверизация — дифференциальный оператор на пространствах дифференцируемых тензорных полей (здесь G{displaystyle G} $G$ группа всех дифферморфизмов), длинный ряд операторов теоретической физики и т. п. Функционально-геометрические методы полезны и при исследовании дифференциальных операторов с так называемой скрытой симметрией.

Теория дифференциальных операторов, являющаяся составной частью общей теории операторов, играет в последнее время все более значительную роль не только в теории дифференциальных уравнений, но и вообще в современном анализе, причем не только как важный конкретный пример неограниченных операторов (это в особенности касается теории линейных дифференциальных операторов), но и как аппарат представления и средство изучения объектов различной природы: так, например, любая обобщенная функция (и даже гиперфункция) получается действием некоторого обобщенного дифференциального оператора на непрерывную функцию. Наконец, непрерывно возрастает роль и влияние теории дифференциальных операторов в других разделах математики — например, одно из решений так называемой проблемы индекса связывает топологические харакеристики мпогообразия с наличием на нем определенного класса дифференциальных операторов, что позволяет сделать заключение о свойствах эллиптических комплексов на этом многообразии.