Дифференциальное исчисление

Производная

Пусть функция ${\displaystyle g(h)}$  определена в окрестности ${\displaystyle h=0}$  и для любого ${\displaystyle \epsilon }$  > 0 найдётся такое ${\displaystyle \delta }$ , что

${\displaystyle |g(h)/h^{n}|<\epsilon }$ , лишь только ${\displaystyle |h|<\delta ,}$ 

тогда говорят, что ${\displaystyle g(h)}$  — бесконечно малое порядка ${\displaystyle o(h^{n})}$ .

Пусть ${\displaystyle f(x)}$  — вещественнозначная функция, заданная на отрезке ${\displaystyle (a,b)}$ . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ , если

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(n)}(x)h^{n}+o(h^{n})}$ 

для любого ${\displaystyle x\in (a,b)}$  и любого ${\displaystyle n}$ . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке ${\displaystyle (a,b)}$  функции образуют кольцо гладких функций ${\displaystyle C^{\infty }(a,b)}$ .

Коэффициенты ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ 

${\displaystyle f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(m+n)}(x)h^{n}+o(h^{n})}$ 

Эти функции называют производными функции ${\displaystyle f(x)}$ . Первая производная может быть вычислена как предел

${\displaystyle f'(x)=\lim \limits _{h->0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ .

Оператор, сопоставляющий функции ${\displaystyle f(x)}$  её производную ${\displaystyle f'(x)}$  обозначают как

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$ 

При этом для двух гладких функций f и g верно

${\displaystyle D(f+g)=Df+Dg}$  и ${\displaystyle D(fg)=fDg+gDf}$ 

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке ${\displaystyle (a,b)}$ , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая

Прямая

${\displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)}$ 

пересекает кривую

${\displaystyle y=f(x)}$ 

в точке ${\displaystyle (c,f(c))}$  таким образом, что знак выражения

${\displaystyle f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)={\frac {1}{2}}f''(c)(x-c)^{2}+o((x-c)^{2})}$ 

при условии ${\displaystyle f''(c)\not =0}$  всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

${\displaystyle y=f(x)}$ 

лежит по одну сторону от прямой

${\displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)}$ 

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке ${\displaystyle x=c}$  (по Б. Кавальери). Точку ${\displaystyle x=c}$ , в которой кривая

${\displaystyle y=f(x)}$ 

не лежит по одну сторону от прямой

${\displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)}$ 

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума

Точка ${\displaystyle x=c}$  называется точкой локального максимума (минимума), если

${\displaystyle f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)}$ 

для всех достаточно малых по модулю ${\displaystyle h}$ . Из соотношения

${\displaystyle f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0}$ 

сразу видно, что ${\displaystyle f'(c)=0}$  — необходимое условие максимума, а ${\displaystyle f''(c)<0}$  — достаточное условие максимума. Условие ${\displaystyle f''(c)=0}$  выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции

Пусть ${\displaystyle f}$  определена и на концах интервала ${\displaystyle [a,b]}$ ; говорят, что она непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$ , если для любого ${\displaystyle \epsilon }$  найдётся такое ${\displaystyle \delta }$ , что

${\displaystyle |f(x)-f(x+h)|<\epsilon }$ , лишь только ${\displaystyle |h|<\delta ,}$ 

и точки ${\displaystyle x,\,x+h}$  не выходят за границы интервала ${\displaystyle [a,b]}$ . Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале ${\displaystyle [a,b]}$  функции образуют кольцо непрерывных функций ${\displaystyle C[a,b]}$ .

Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на ${\displaystyle [a,b]}$  и гладких на ${\displaystyle (a,b)}$  функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если ${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$ , то имеется точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$  максимума или минимума, в которой ${\displaystyle f'}$  обращается в нуль.
• Теорема Лагранжа: существует такая точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$ , что

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}$ 

• Теорема Коши: если ${\displaystyle g'\not =0}$  на ${\displaystyle (a,b)}$ , то существует такая точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «/mathoid/local/v1/»:): c\in (a,b) , что

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$ 

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке ${\displaystyle (a',b')\subset (a,b)}$  найдутся такие точки ${\displaystyle c_{n}}$ , что

${\displaystyle f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a')^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(n)}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}}$ 

где

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(c_{n})(b'-a')^{n+1}}$ 

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке ${\displaystyle b'}$  по известным значениям функции и её производных в точке ${\displaystyle a'}$ .

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если ${\displaystyle f(b)=g(b)=0}$  или ${\displaystyle f(b)=g(b)=\infty }$ , и ${\displaystyle g'\not =0}$  на ${\displaystyle (a,b)}$ , то

${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow b-0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\rightarrow b-0}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$ 

причём существование второго предела влечёт существование первого.

• Исчисление
• Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.

• Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Советская энциклопедия, 1977 г.
• Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981 г.

Шаблон:Link FA