Дифференциальная форма

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени ${\displaystyle k}$ , или просто ${\displaystyle k}$ -форма — это гладкое сечение ${\displaystyle \wedge ^{k}T^{*}M}$ , то есть ${\displaystyle k}$ -ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

• значение ${\displaystyle k}$ -формы на наборе из ${\displaystyle k}$  штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение ${\displaystyle k}$ -формы в точке ${\displaystyle x}$  многообразия есть кососимметрический ${\displaystyle k}$ -линейный функционал на ${\displaystyle T_{x}M}$ .

Через локальные карты

${\displaystyle k}$ -формой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  будем называть выражение следующего вида

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$ 

где ${\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$  — гладкие функции, ${\displaystyle dx^{i}}$  — дифференциал ${\displaystyle i}$ -ой координаты ${\displaystyle x^{i}}$  (функция от вектора, возвращающая его координату с номером ${\displaystyle i}$  ), а ${\displaystyle \wedge }$  — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

• Для ${\displaystyle k}$ -формы ${\displaystyle \omega }$ , её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это ${\displaystyle (k+1)}$ -форма, в координатах имеющая вид ${\displaystyle d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}}$ 

• для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть ${\displaystyle 0}$ -форм, затем дифференциал ${\displaystyle 1}$ -форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по ${\displaystyle R}$ -линейности и градуированному правилу Лейбница:
  • ${\displaystyle dF(v)=v(F)}$  — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
  • ${\displaystyle d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-[u,v]}$  — значение дифференциала ${\displaystyle 1}$ -формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на коммутатор.
  • ${\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}$ 
• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
• Факторгруппа ${\displaystyle H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}}$  замкнутых k-форм по точным k-формам называется ${\displaystyle k}$ -мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы ${\displaystyle \omega }$  по векторному полю ${\displaystyle \mathbf {v} }$  называется форма

${\displaystyle i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots ,u_{n})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n})}$ 

• Для дифференциалов форм ${\displaystyle \omega _{F}}$  векторного поля ${\displaystyle F}$  справедливо:

${\displaystyle d(d\omega _{F})=0}$ 

${\displaystyle d(\omega _{F}^{0})=\omega _{\nabla F}^{1}}$ 

${\displaystyle d(\omega _{F}^{1})=\omega _{rotF}^{2}}$ 

${\displaystyle d(\omega _{F}^{2})=\omega _{divF}^{3}}$ 

${\displaystyle d(\omega _{F}^{3})=\omega _{L2F}^{4}}$ 

• Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от ${\displaystyle k}$  векторов.
• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  ${\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}$ 

• Для любой формы справедливо ${\displaystyle d(d\omega )=0}$ .

• С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке ${\displaystyle p}$  многообразия ${\displaystyle M}$  и отображающий элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}(M)}$  в множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

  ${\displaystyle \omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ 

• Форма объёма — пример ${\displaystyle n}$ -формы на ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ${\displaystyle \omega }$  на ${\displaystyle 2n}$ -многообразии, такая что ${\displaystyle \omega ^{n}\not =0}$ .

Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть ${\displaystyle I}$  — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и ${\displaystyle \sigma }$  — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на ${\displaystyle M}$ . Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на ${\displaystyle M}$ . Тогда ротор и дивергенцию для полей на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$  можно представить как

${\displaystyle \operatorname {rot} \,v=\sigma \circ d\circ I(v)}$ 

${\displaystyle \operatorname {div} \,v=\sigma \circ d\circ \sigma (v)}$ 

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}$ 

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

${\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}$ 

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}$ 

${\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}}$ 

где ${\displaystyle *}$  — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма ${\displaystyle *\mathbf {F} }$  также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие ${\displaystyle M}$  с заданными на нём симплектической формой ${\displaystyle \omega }$  и функцией ${\displaystyle H}$ , называемой функцией Гамильтона. ${\displaystyle \omega }$  задаёт в каждой точке ${\displaystyle X\in M}$  изоморфизм ${\displaystyle I}$  кокасательного ${\displaystyle T_{X}^{*}M}$  и касательного ${\displaystyle T_{X}M}$  пространств по правилу

${\displaystyle dH(\mathbf {u} )=\omega (IdH,\mathbf {u} ),~~\forall \mathbf {u} \in T_{X}M}$ ,

где ${\displaystyle dH}$  — дифференциал функции ${\displaystyle H}$ . Векторное поле ${\displaystyle IdH}$  на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций ${\displaystyle F}$  и ${\displaystyle G}$  на ${\displaystyle M}$  определяется по правилу

${\displaystyle [F,G]=\omega (IdF,IdG)}$ 

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от ${\displaystyle k}$  векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на ${\displaystyle M}$  со значениями в векторном расслоении ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$  определяются как сечения тензорного произведения расслоений

${\displaystyle \left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}E}$ 

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение ${\displaystyle TM}$ .

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса
• Дифференциальные формы в электродинамике