Дифференциальная геометрия поверхностей

Отдельные свойства поверхностей вращения были известны ещё Архимеду. Развитие математического анализа в семнадцатом веке обеспечило более систематические подходы к их доказательству. Кривизну поверхностей общего виде первым изучал Эйлер. В 1760 году^[1] он доказал формулу для кривизны поверхности, а в 1771 году^[2] он рассматривал поверхности, заданные в параметрической форме. Монж изложил основы его теории в классическом труде L’application de l’analyse à la géometrie, который появился в 1795 году. Определяющий вклад в теорию поверхностей сделал Гаусс в двух выдающихся статьях, написанных в 1825 и 1827 годах^[3]. Они наметили новую линию, отличную от традиционной, поскольку впервые Гаусс рассматривал внутреннюю геометрию поверхности, свойства, которые определяются лишь геодезическими расстояниями между точками на поверхности независимо от способа, которым поверхность расположена в окружающем евклидовом пространстве. В частности, Theorema Egregium — исторически важный результат Гаусса, говорит, что кривизна Гаусса является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий. Ключевые результаты в теории поверхностей были получены Фердинандом Готлибовичем Миндингом. В частности он ввёл понятие параллельного перенесения вдоль кривой, получившее дальнейшее развитие в работах Туллио Леви-Чивиты.

Гладкая вложенная поверхность является основным объектом изучения дифференциальной геометрии поверхностей, точнее внешней геометрии поверхностей. Она определяется следующим образом: Подмножество ${\displaystyle \Sigma }$  евклидова пространства называется гладкой вложенной поверхностью (точнее гладкой регулярной вложенной поверхностью без границы), если для любой точки ${\displaystyle p\in \Sigma }$  существует окрестность ${\displaystyle U\ni p}$  в ${\displaystyle \Sigma }$ , которая является графиком ${\displaystyle z=f(x,y)}$  гладкой функции ${\displaystyle f}$  в подходящим образом выбранной системе декартовых координат ${\displaystyle (x,y,z)}$ .

Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура задаётся первой фундаментальной формой, то есть 2×2 положительно определённой матрицей, гладко меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Можно абстрагироваться от исходного вложения. То есть рассматривать абстрактную поверхность заданную локальными координатами с римановой метрикой. Это приводит к так называемой внутренней геометрии поверхностей, получившей дальнейшее развитие в римановой геометрии.

Центральную роль в исследовании поверхностей играет кривизна, в том числе главные кривизны, гауссова и средняя кривизны, а также тензорные описания кривизны, такие как оператор формы и вторая фундаментальная форма.

Кривые на поверхности, с постоянной скоростью, которые локально минимизируют длину между двумя точками, называются геодезическими. Математически геодезические описываются с помощью определённого дифференциального уравнения. Неформально про геодезические можно думать как о формах, которые принимает резинка в поверхности, натянутая между двумя точками. Про них можно также думать как о траектории частицы скользящей по поверхности без трения.

Конструкции

• Сферическое отображение — отображение при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке.

• Трёхгранник Дарбу естественный репер для кривой на поверхности, используется в определении геодезической и нормальной кривизны.

Технические утверждения

• Формула Эйлера позволяет вычислить нормальную кривизну поверхности.

• Теорема Мёнье — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

• Лемма Гаусса о геодезических — утверждает, что любая достаточно малая окружность с центром в точке поверхности перпендикулярна каждой геодезической из центра. Используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми. Также играет ключевую роль в доказательстве свойств нормальных и полугеодезических координат

• Теорема об униформизации — гарантирует существование конформной параметризации данной поверхости поверхностью постоянной гауссовой кривизны.

• Формула Гаусса — Бонне — даёт выражение на интеграл гауссовой кривизны по области на поверхности.

• Теорема сравнения Александрова — даёт оценки на углы геодезического треугольника.

• Задача изометричного вложения. Остаётся открытым вопрос, любая ли абстрактно заданная поверхность допускает изометрическое вложение в евлкидово пространство размерности 3. Это так называемая «задача Вейля»^[4]. **Результат Якобовича^[5] и Позняка^[6] даёт положительный ответ для вложений в 4-х мерное пространство.
  • В 1926 году Морис Жане доказал, решил задачу для аналитических метрик.
  • Теорема Александрова о вложении говорит, что любая достаточно гладкая метрика на сфере с положительной гааусовой кривизной изометрична замкнутой выпуклой поверхностив в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ . Аналогичный результат для аналитических метрик был получен ранее Вейлем.^[7]

• Гипотеза Каратеодори: Гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая три раза дифференцируемая поверхность допускает по меньшей мере две точки округления. Первой работой по этой гипотезе была работа Ганса Гамбургера в 1924, который заметил, что гипотеза следует из следующего более строгого утверждения: Полуцелый индекс расслоения главной кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.

• Гипотеза Вилмора^[en]. Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, вложенного в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ , должен быть ограничен снизу величиной ${\displaystyle 2\pi ^{2}}$ . Известно, что интеграл является инвариантом Мёбиуса. Гипотезу решили в 2012 Фернандо Кода Маркес и Андрк Невес^[8].

• С. Э. Кон-Фоссен, Д. Гильберт. Наглядная геометрия. — М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936. — 302 с.

• Манфредо до Кармо. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Москва, Ижевск, 2013. — ISBN 978-5-4344-0150-0.

• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е издание. — М.: Наука, 1974.

• Позняк Э. Г. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства. — 1973. — Т. 28, вып. 4. — С. 47–77. — doi:10.1070/RM1973v028n04ABEH001591.

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е издание. — М.: ГИТТЛ, 1950.

• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• Чернавский А. В. Дифференциальная геометрия, 2-й курс.

• Recherches sur la courbure des surfaces // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. — 1760. — Т. 16. — С. 119–143.. Дата публикации — 1767

• Leonhard Euler. De solidis quorum superficiem in planum explicare licet // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. — 1771. — Т. 16. — С. 3–34.. Дата публикации — 1772

• Carl Friedrich Gauss. General Investigations of Curved Surfaces of 1825 and 1827. — Princeton University Library, 1902.

• Qing Han, Jia-Xing Hong. Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces. — 2006. — ISBN 978-0-8218-4071-9.

• Howard Jacobowitz. Local Isometric Embeddings of Surfaces into Euclidean Four Space // Indiana Univ. Math. J.. — 1972. — Т. 21, вып. 3. — С. 249–254. — doi:10.1512/iumj.1971.21.21019.

• Fernando Codá Marques, André Neves. Min-Max theory and the Willmore conjecture // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179, вып. 2. — doi:10.4007/annals.2014.179.2.6. — arXiv:1202.6036. — JSTOR 24522767.