Дифференциалы высших порядков

Для функции, зависящей от одной переменной ${\displaystyle ~z=f(x)}$   второй и третий дифференциалы выглядят так:

${\displaystyle ~d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2}}$ 

${\displaystyle ~d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^{2}=z'''dx^{3}}$ 

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции ${\displaystyle ~z=f(x)}$  :

${\displaystyle ~d^{n}z=z^{(n)}dx^{n}}$ 

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что ${\displaystyle ~dx}$  есть произвольное и не зависящее от ${\displaystyle ~x}$  , которое при дифференцировании по ${\displaystyle ~x}$   следует рассматривать как постоянный множитель.

Если функция ${\displaystyle ~z=f(x,y)}$   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: ${\displaystyle ~d^{2}z=d(dz)}$ .

${\displaystyle d^{2}z=d({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy)=({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy)'_{x}dx+({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy)'_{y}dy=}$ 

${\displaystyle =({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}dy)dx+({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy)dy}$ 

${\displaystyle d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}}$ 

${\displaystyle d^{2}z=({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy)^{2}z}$ 

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции ${\displaystyle ~z=f(x_{1},...,x_{n})}$  выглядит следующим образом:

${\displaystyle d^{n}z=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}dx_{n})^{n}z}$ 

где ${\displaystyle ~z=f(x_{1},x_{2},...x_{n})}$ , а  ${\displaystyle ~dx_{1},...,dx_{n}}$  произвольные приращения независимых переменных ${\displaystyle ~x_{1},...,x_{n}}$ .
Приращения ${\displaystyle ~dx_{1},...,dx_{n}}$   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

• С помощью дифференциалов, функция ${\displaystyle ~F}$   при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

• для функции с одной переменной:

${\displaystyle ~{\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x)}{n+1!}}}$   ,  ${\displaystyle ~(0<\theta <1)}$ ;

• для функции с несколькими переменными:

${\displaystyle ~{\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0},y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{n+1!}}}$   ,  ${\displaystyle ~(0<\theta <1)}$ 

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции ${\displaystyle ~f(x_{1},...,x_{n})}$   явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка ${\displaystyle ~(x_{1},...,x_{n})}$   является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции ${\displaystyle ~f(x_{1},...,x_{n})}$   является неопределённым, то в точке ${\displaystyle ~(x_{1},...,x_{n})}$   нет экстремума.

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1