Неформально говоря, дизъюнктное объединение — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая каждый элемент снабжает индексом множества, из которого этот элемент вошел в объединение.
Определение
Пусть {Ai|i∈I}{displaystyle {A_{i}|iin I}} — семейство множеств, перечисленных индексами из I{displaystyle I}. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество
— семейство множеств, перечисленных индексами из I{displaystyle I}
. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество- ∐i∈IAi=⋃i∈I{(x,i)|x∈Ai}{displaystyle coprod _{iin I}A_{i}=bigcup _{iin I}{(x,i)|xin A_{i}}}
Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами (x,i){displaystyle (x,i)}. Таким образом i{displaystyle i} есть индекс, показывающий, из какого множества Ai{displaystyle A_{i}} элемент вошел в объединение. Каждое из множеств Ai{displaystyle A_{i}} канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество
. Таким образом i{displaystyle i}
есть индекс, показывающий, из какого множества Ai{displaystyle A_{i}}
элемент вошел в объединение. Каждое из множеств Ai{displaystyle A_{i}}- Ai∗={(x,i)|x∈Ai}.{displaystyle A_{i}^{*}={(x,i)|xin A_{i}}.}
При ∀i,j∈I:i≠j{displaystyle forall i,jin I:ineq j} множества Ai∗{displaystyle A_{i}^{*}} и Aj∗{displaystyle A_{j}^{*}} не имеют общих элементов, даже если Ai∩Aj≠∅{displaystyle A_{i}cap A_{j}neq varnothing }. В вырожденном случае, когда множества Ai∀i∈I{displaystyle A_{i}forall iin I} равны какому-то конкретному A{displaystyle A}, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества A{displaystyle A} и множества I{displaystyle I}, то есть
множества Ai∗{displaystyle A_{i}^{*}}
и Aj∗{displaystyle A_{j}^{*}}
не имеют общих элементов, даже если Ai∩Aj≠∅{displaystyle A_{i}cap A_{j}neq varnothing }
. В вырожденном случае, когда множества Ai∀i∈I{displaystyle A_{i}forall iin I}
равны какому-то конкретному A{displaystyle A}
, дизъюнктное объединение есть - ∐i∈IAi=A×I.{displaystyle coprod _{iin I}A_{i}=Atimes I.}
Использование
Иногда можно встретить обозначение A+B{displaystyle A+B}
- ∑i∈IAi.{displaystyle sum _{iin I}A_{i}.}
Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.
В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если C{displaystyle C} — это семейство множеств, то
— это семейство множеств, то- ⋃A∈CA{displaystyle bigcup _{Ain C}A}
есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых A{displaystyle A} и B{displaystyle B} из C{displaystyle C} выполняется следующее условие:
из C{displaystyle C}- A≠B⟹A∩B=∅.{displaystyle Aneq Bimplies Acap B=varnothing .}
Литература
- Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
- Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.
