Двойственная категория

Двойственная категория или дуальная категория, к категории ${\displaystyle C}$ — категория ${\displaystyle C^{\circ }}$ с теми же объектами, что и ${\displaystyle C}$ и с множествами морфизмов ${\displaystyle Hom^{\circ }(A,B)=Hom(B,A)}$ («обращение стрелок»). Композиция морфизмов в ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ в категории ${\displaystyle C^{\circ }}$ определяется как композиция ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle C}$. Понятия и утверждения, относящиеся к категории ${\displaystyle C}$, заменяются двойственными понятиями и утверждениями в ${\displaystyle C^{\circ }}$. Так, понятие эпиморфизма двойственно понятию мономорфизма, понятие проективного объекта — понятию инъективного объекта, прямое произведение — прямой сумме и т. д. Контравариантный функтор на C становится ковариантным на ${\displaystyle C^{\circ }}$.

Иногда двойственная категория имеет непосредственную реализацию: так, категория дискретных абелевых групп эквивалентна двойственной категории к категории компактных абелевых групп (двойственность Понтрягина), а категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории к категории коммутативных колец с единицей.