Движение (математика)

Изоме́три́я, или движе́ние, или (реже) наложе́ниебиекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если и — образы точек и , то .

Термин «изометрия» более распространён в метрической геометрии, в частности, в римановой геометрии. Термин «движение» более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.

В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве изометрия автоматически сохраняет также углы, то есть, сохраняются все скалярные произведения.

В этой статье ниже подразумевается евклидово пространство, а в общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.

Виды изометрии

На плоскости

В трёхмерном пространстве

  • Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
  • Параллельный перенос;
  • Поворот;
  • Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
  • Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота;
  • Винтовое наложение — композиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой.

В n-мерном пространстве

В  -мерном пространстве движения сводятся ко всем ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и композициям того и другого.

В свою очередь ортогональные преобразования могут быть представлены как композиции (собственных) вращений и зеркальных отражений.

Общие свойства изометрии

Движения как композиции симметрий

 
Композиция двух отражений относительно несовпадающих параллельных осей дает параллельный перенос.
 
Композиция двух отражений относительно непараллельных осей дает поворот.

Любую изометрию в  -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде композиции не более чем   отражений.

Так, параллельный перенос и поворот — композиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое наложение — четырёх.