Изоме́три́я, или движе́ние, или (реже) наложе́ние — биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если A′{displaystyle A’} и B′{displaystyle B’} — образы точек A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, то |A′B′|=|AB|{displaystyle |A’B’|=|AB|}.
и B′{displaystyle B’}
— образы точек A{displaystyle A}
и B{displaystyle B}
, то |A′B′|=|AB|{displaystyle |A’B’|=|AB|}
.Термин «изометрия» более распространён в метрической геометрии, в частности, в римановой геометрии.Термин «движение» более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях.
В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве изометрия автоматически сохраняет также углы, то есть, сохраняются все скалярные произведения.
В этой статье ниже подразумевается евклидово пространство, а в общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.
Содержание
Виды изометрии
На плоскости
- Осевая симметрия (отражение);
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.
В трёхмерном пространстве
- Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Скользящая симметрия — композиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
- Зеркальный поворот — композиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота;
- Винтовое наложение — композиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой.
В n-мерном пространстве
В n{displaystyle n}
-мерном пространстве движения сводятся ко всем ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и композициям того и другого.
-мерном пространстве движения сводятся ко всем В свою очередь ортогональные преобразования могут быть представлены как композиции (собственных) вращений и зеркальных отражений.
Общие свойства изометрии
- Композиция изометрий также является изометрией.
- Изометрии относительно взятия композиции образуют группу.
- Изометрия — аффинное преобразование.
- Изометрия переводит отрезок в отрезок.
Движения как композиции симметрий
Композиция двух отражений относительно несовпадающих параллельных осей дает параллельный перенос. Композиция двух отражений относительно непараллельных осей дает поворот.
Любую изометрию в n{displaystyle n}
-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде композиции не более чем n+1{displaystyle n+1} отражений.
отражений.Так, параллельный перенос и поворот — композиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое наложение — четырёх.
| Это «статья-заготовка» по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив эту статью, как и любую другую в Википедии. Нажмите и узнайте подробности. |
