Группа Пуанкаре

Разделы:
Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов x=xμ={x0,x1,x2,x3}{displaystyle x=x^{mu }={x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}} ${displaystyle x=x^{mu }={x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}}$ вида x′μ=Λνμxν+aμ{displaystyle x’^{mu }=Lambda _{nu }^{mu }x^{nu }+a^{mu }} ${displaystyle x'^{mu }=Lambda _{nu }^{mu }x^{nu }+a^{mu }}$ , где Λ{displaystyle Lambda } $Lambda$ — преобразование из группы Лоренца, aν{displaystyle a^{nu }} ${displaystyle a^{nu }}$ — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно обозначается {a,Λ}{displaystyle {a,Lambda }} ${displaystyle {a,Lambda }}$ , а закон композиции имеет вид

{a1,Λ1}{a2,Λ2}={a1+Λ1a2,Λ1Λ2}.{displaystyle {a_{1},Lambda _{1}}{a_{2},Lambda _{2}}={a_{1}+Lambda _{1}a_{2},Lambda _{1}Lambda _{2}}.} ${displaystyle {a_{1},Lambda _{1}}{a_{2},Lambda _{2}}={a_{1}+Lambda _{1}a_{2},Lambda _{1}Lambda _{2}}.}$

Группа Пуанкаре играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма
- кинематических законов,
- уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
- уравнения Дирака в теории электрона,
являются инвариантными при преобразованиях Лоренца. Поэтому можно сказать, что группа Пуанкаре выражает фундаментальную симметрию многих из известных фундаментальных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа P{displaystyle P} $P$ имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями detΛ{displaystyle det Lambda } ${displaystyle det Lambda }$ и знаком Λ00{displaystyle Lambda _{0}^{0}} ${displaystyle Lambda _{0}^{0}}$ . Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента P{displaystyle P} $P$ , у которой detΛ=1{displaystyle det Lambda =1} ${displaystyle det Lambda =1}$ , Λ00>0{displaystyle Lambda _{0}^{0}>0} ${displaystyle Lambda _{0}^{0}>0}$ , содержащая тождественное преобразование.

Группа P{displaystyle P} $P$ — 10-параметрическая: к шести генераторам Mμν{displaystyle M_{mu nu }} ${displaystyle M_{mu nu }}$ группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.