Группа Лоренца

Группа Лоренца является группой преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами). ^[1] В математике обозначается $O(1,\;3)$ .

Специальная группа Лоренца $SO(1,\;3)$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен $\pm 1$ ).

Ортохронная группа Лоренца $O_{\uparrow }(1,\;3)$ , специальная ортохронная группа Лоренца $SO_{\uparrow }(1,\;3)$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты $x^{0}$ ). Группа $SO_{\uparrow }(1,\;3)$ , единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Представления группы Лоренца

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца $SO_{\uparrow }(1,\;3)$ можно построить при помощи спиноров.

Примечания

↑ Группа всех преобразований Лоренца, включая и параллельный перенос, по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит как подгруппу группу вращений 3-мерного пространства.

Литература

Ф. И. Фёдоров Группа Лоренца. - М.: Наука, 1979. 384 с (излагается векторная параметризация группы Лоренца и ее применение)
И. М. Гельфанд, Р. А. Минлос, З. Я. Шапиро Представления группы вращений и группы Лоренца, - М.: Физматгиз, 1958.
М. А. Наймарк Линейные представления группы Лоренца, - М.: Физматгиз, 1958.
Г.Я Любарский Теория групп и ее применения в физике, - М.: Наука, 1967.
Artin, Emil. Geometric Algebra. — New York : Wiley, 1957. — ISBN ISBN 0-471-60839-4. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. — McGraw-Hill, New York, 1977. — ISBN ISBN 0-07-009986-3. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.). — Cambridge : Cambridge University Press, 2004. — ISBN ISBN 0-521-53927-7. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course. — New York : Springer-Verlag, 1991. — ISBN ISBN 0-387-97495-4. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. — Singapore : World Scientific, 2004. — ISBN ISBN 981-02-1051-5. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
Hatcher, Allen. Algebraic topology. — Cambridge : Cambridge University Press, 2002. — ISBN ISBN 0-521-79540-0. See also the online version (неопр.). Дата обращения: July 3. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime. — New York : Springer-Verlag, 1992. — ISBN ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition). An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
Needham, Tristam. Visual Complex Analysis. — Oxford : Oxford University Press, 1997. — ISBN ISBN 0-19-853446-9. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

См. также

Прецессия Томаса

[1] Группа всех преобразований Лоренца, включая и параллельный перенос, по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит как подгруппу группу вращений 3-мерного пространства.

[1]