Градуированная алгебра

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей $A_{g}$ по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

A_{f}A_{g}\subset A_{fg}

Если ненулевой элемент a принадлежит $A_{g}$ , то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Конструкции с градуировками

Если A — G—градуированная алгебра, а $\psi :G\to H$ — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:

A_{h}=\oplus _{g\in G}\{A_{g}|\psi (g)=h\}

На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая $A_{e}=A$ , поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

Над полем $\mathbb {C}$ любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:

G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi )a,

для всякого

\phi \in T(Aut_{k-alg}(A))\}

Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры

Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
Кольцо когомологий
Алгебра матриц порядка n градуируется группой $\mathbb {Z} _{n-1}\!$
Полугрупповая алгебра $K\left[G\right]$ — является G—градуированной алгеброй

Литература

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982