Градуированная алгебра

• Разделы:
  • Примеры
  • Литература

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей Ag{displaystyle A_{g}} по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

AfAg⊂Afg{displaystyle A_{f}A_{g}subset A_{fg}}

Если ненулевой элемент a принадлежит Ag{displaystyle A_{g}}, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Конструкции с градуировками

• Если A — G—градуированная алгебра, а ψ:G→H{displaystyle psi :Gto H}  — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:

Ah=⊕g∈G{Ag|ψ(g)=h}{displaystyle A_{h}=oplus _{gin G}{A_{g}|psi (g)=h}} 

• На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая Ae=A{displaystyle A_{e}=A} , поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

• Над полем C{displaystyle mathbb {C} }  любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:

G=(T(Autk−alg(A)))∨:Ag={a∈A|ϕ(a)=g(ϕ)a,{displaystyle G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^{vee }:quad A_{g}={ain A|phi (a)=g(phi )a,}  для всякого ϕ∈T(Autk−alg(A))}{displaystyle phi in T(Aut_{k-alg}(A))}} 

Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры

• Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
• Кольцо когомологий
• Алгебра матриц порядка n градуируется группой Zn−1{displaystyle mathbb {Z} _{n-1}!} 
• Полугрупповая алгебра K[G]{displaystyle Kleft[Gright]}  — является G—градуированной алгеброй

Литература

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982