Гомотопические группы

Пусть ${\displaystyle X}$  — топологическое пространство, ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ; ${\displaystyle I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$  — единичный куб (${\displaystyle I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{n}\leqslant 1\}}$ , ${\displaystyle \partial I^{n}}$  — граница этого куба, то есть множество точек куба такое, что для некоторого i ${\displaystyle t_{i}}$  равен 0 или 1. Множество гомотопических классов ${\displaystyle [f]}$  непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$ , для которых ${\displaystyle f(\partial I^{n})=x_{0}\in X}$  обозначается ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$  (причём ${\displaystyle \partial I^{n}}$  переходит в точку ${\displaystyle x_{0}}$  при всех отображениях и гомотопиях). На этом множестве можно определить умножение элементов следующим образом:

${\displaystyle [f][g]=[f*g]}$ , где

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})}$ , если ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2}}}$ 

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})}$ , если ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1}$ 

Так как на границе куба ${\displaystyle f=g=x_{0}}$ , то умножение определено корректно. Легко проверить, что ${\displaystyle [f*g]}$  зависит только от гомотопического класса ${\displaystyle [f]}$  и ${\displaystyle [g]}$ . Это умножение удовлетворяет всем аксиомам группы. В случае ${\displaystyle n=1}$  мы имеем общеизвестное умножение замкнутых путей и, следовательно, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  является фундаментальной группой. При n>1 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$  называются высшими гомотопическими группами.

Непрерывному отображению пространств ${\displaystyle F\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$  сооветствует гомоморфизм ${\displaystyle F_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,y_{0})}$ , причём это соответствие, как говорят, функториально, то есть произведению непрерывных отображений соответствует произведение гомоморфизмов гомотопических групп ${\displaystyle (FG)_{*}=F_{*}G_{*}}$ , а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм ${\displaystyle (id)_{*}=id_{*}}$ . Если отображение ${\displaystyle F}$  гомотопно ${\displaystyle G}$ , то ${\displaystyle F_{*}=G_{*}}$ .

В отличие от гомологических групп ${\displaystyle H_{n}(X)}$  в определение гомотопических групп ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$  входит выделенная точка ${\displaystyle x_{0}}$ . На самом деле в случае линейно связных пространств эти группы изоморфны, хотя в общем случае канонического изоморфизма не существует.

В то время как фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$  в общем случае неабелева, для всех n>1 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$  абелевы, то есть ${\displaystyle [f][g]=[g][f]}$ . Наглядное доказательство этого факта можно видеть на следующем рисунке (светло-синие области отображаются в точку ${\displaystyle x_{0}}$ ):

Относительные гомотопические группы определяются для пространства ${\displaystyle X}$ , его подпространства ${\displaystyle A\subset X}$  и выделенной точки ${\displaystyle x_{0}\in X}$ . Пусть ${\displaystyle I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$  — единичный куб (${\displaystyle I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{n}\leqslant 1\}}$ ), ${\displaystyle \partial I^{n}}$  — граница этого куба, a ${\displaystyle I^{n-1}\subset \partial I^{n}}$  - грань куба, определяемая уравнением ${\displaystyle x_{n}=0}$ . Множество гомотопических классов ${\displaystyle [f]}$  непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$ , для которых ${\displaystyle f\colon I^{n-1}\to A}$  и на остальных гранях ${\displaystyle f\colon \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})\to x_{0}}$  обозначается ${\displaystyle \pi _{n}(X,A,x_{0})}$  (причём ${\displaystyle I^{n-1}}$  переходит в ${\displaystyle A}$ , а ${\displaystyle \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})}$  в точку ${\displaystyle x_{0}}$  при всех отображениях и гомотопиях).

Точно так же, как и раньше можно доказать что при ${\displaystyle n\geqslant 2}$  это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка ${\displaystyle n}$ . Если ${\displaystyle n\geqslant 3}$  то предыдущий рисунок доказывает, что ${\displaystyle \pi _{n}(X,A,x_{0})}$  — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки ${\displaystyle I^{1}=\{x:x_{2}=0\}}$  могут переходить в точки ${\displaystyle A}$ , отличные от ${\displaystyle x_{0}}$ ).

Вложение ${\displaystyle i\colon (A,x_{0})\to (X,x_{0})}$  индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0}\to \pi _{n}(X,x_{0})}$ , а вложение ${\displaystyle j\colon (X,x_{0})\to (X,A,x_{0})}$  (здесь ${\displaystyle (X,x_{0})}$  следует понимать как ${\displaystyle (X,x_{0},x_{0})}$ ), индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,A,x_{0})}$ . Любой элемент ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})}$  определяется отображением ${\displaystyle f}$ , которое, в частности, переводит ${\displaystyle I^{n-1}}$  в ${\displaystyle A}$ , причём на ${\displaystyle \partial I^{n-1}}$  f тождественно равно ${\displaystyle x_{0}}$ , определяя элемент из ${\displaystyle \pi _{n-1}(A,x_{0})}$ . Таким образом мы получаем отображение ${\displaystyle \partial \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{n-1}(A,x_{0})}$ , которое является гомоморфизмом. Мы имеем следующую последовательность групп и гомоморфизмов:
${\displaystyle ...{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~...}$ 

Эта последовательность является точной, то есть образ любого гомоморфизма совпадает с ядром следующего гомоморфизма. Отсюда в случае, когда ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})=0}$  для всех ${\displaystyle n\geqslant 1}$ , граничный гомоморфизм ${\displaystyle \partial \colon \pi _{n+1}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})}$  будет изоморфизмом.

Фундаментальная группа была введена создателем топологии А. Пуанкаре, высшие гомотопические группы — В. Гуревичем. Несмотря на простоту их определения, вычисление конкретных групп (даже для таких простых пространств, как сферы Sⁿ) часто является очень трудной задачей, причём более-менее общие методы были получены только начиная с середины XX века.

• Убивающие пространства

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989