Гомеоморфизм

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку, при непрерывности биекции, образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Классический пример гомеоморфизма: кружка и тор топологически эквивалентны

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология, в общем виде, изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ и $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ — два топологических пространства. Функция $f:X\to Y$ называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также $f$ и обратная функция $f^{-1}$ непрерывны.

Пространства $X$ и $Y$ в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть $|a,b|\subset \mathbb {R}$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R}$ — биекция. Тогда $f$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ строго монотонна и непрерывна на $|a,b|.$

Пример

Произвольный открытый интервал $(a,b)\subset \mathbb {R}$ гомеоморфен всей числовой прямой $\mathbb {R}$ . Гомеоморфизм $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ задаётся, например, формулой

f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).

Интервал $(0,\;1)$ гомеоморфен отрезку $[0,\;1]$ в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. также

Примечания

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.