Гомеоморфизм

• Разделы:
  • Теорема о гомеоморфизме
  • Пример
  • См. также
  • Примечания
  • Литература

Не следует путать с гомоморфизмом.

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку, при непрерывности биекции, образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Классический пример гомеоморфизма: кружка и тор топологически эквивалентны

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология, в общем виде, изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Теорема о гомеоморфизме
• 3 Пример
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Литература

Определение

Пусть (X,TX){displaystyle (X,{mathcal {T}}_{X})}

  и (Y,TY){displaystyle (Y,{mathcal {T}}_{Y})}  — два топологических пространства. Функция f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}  называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f{displaystyle f}  и обратная функция f−1{displaystyle f^{-1}}  непрерывны.

Пространства X{displaystyle X}

  и Y{displaystyle Y}  в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть |a,b|⊂R{displaystyle |a,b|subset mathbb {R} }

  — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть f:|a,b|→f(|a,b|)⊂R{displaystyle f:|a,b|to f{bigl (}|a,b|{bigr )}subset mathbb {R} }  — биекция. Тогда f{displaystyle f}  является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда f{displaystyle f}  строго монотонна и непрерывна на |a,b|.{displaystyle |a,b|.} 

Пример

• Произвольный открытый интервал (a,b)⊂R{displaystyle (a,b)subset mathbb {R} }  гомеоморфен всей числовой прямой R{displaystyle mathbb {R} } . Гомеоморфизм f:(a,b)→R{displaystyle f:(a,b)to mathbb {R} }  задаётся, например, формулой

f(x)=ctg(πx−ab−a).{displaystyle f(x)=mathrm {ctg} left(pi {frac {x-a}{b-a}}right).} 

• Интервал (0,1){displaystyle (0,;1)}  гомеоморфен отрезку [0,1]{displaystyle [0,;1]}  в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Гипотеза Пуанкаре

Примечания

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.