Гладкое расслоение

Пусть ${\displaystyle Y}$  и ${\displaystyle X}$  — гладкие многообразия. Эпиморфизм многообразий ${\displaystyle \pi \colon Y\to X}$  называется гладким расслоением, если существуют: открытое покрытие ${\displaystyle (U_{i})}$  многообразия ${\displaystyle X}$ , многообразие ${\displaystyle V}$  и семейство диффеоморфизмов ${\displaystyle \varphi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times V}$ , связанных гладкими функциями перехода ${\displaystyle \rho _{ij}=\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}}$  на ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\times V}$ .

Гладкое расслоение является локально тривиальным расслоением с пространством расслоения ${\displaystyle Y}$ , базой ${\displaystyle X}$ , типичным слоем ${\displaystyle V}$  и атласом расслоения ${\displaystyle (U_{i},\;\varphi _{i},\;\rho _{ij})}$ . Замкнутое подмногообразие ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\subset Y}$  называется типичным слоем гладкого расслоения в точке ${\displaystyle x\in X}$ .

• Векторное расслоение, в частности касательное расслоение
• Главное расслоение

• Пространство расслоения ${\displaystyle Y}$  наделено координатным атласом ${\displaystyle (x^{\mu },\;y^{a})}$ , где ${\displaystyle (y^{a})}$  — координаты на ${\displaystyle V}$  и ${\displaystyle (x^{\mu })}$  — координаты на ${\displaystyle X}$ , функции перехода которых не зависят от координат ${\displaystyle (y^{a})}$ .
• Для всякой точки ${\displaystyle x\in X}$  существует открытая окрестность ${\displaystyle U}$  и вложение ${\displaystyle s\colon U\to Y}$ , такое что ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {Id} \,(U)}$ . Это отображение называется (локальным) сечением гладкого расслоения.

• Слоение
• Суперрасслоение
• Градуированное расслоение
• Банахово и гильбертово расслоения

• Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology, vol. I—III. — N. Y.: Academic Press, 1972—1976.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886