Гипотеза Борсука

Верно ли, что любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d?

Гипотеза была выдвинута Каролем Борсуком в 1933 г. Сам Борсук доказал, что ${\displaystyle n}$ -мерный шар нельзя разделить на ${\displaystyle n}$  частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей. Доказательство основано на теореме Борсука — Улама.

• Гипотеза была подтверждена в некоторых случаях:
  • Случай n = 1 очевиден.
  • Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году. Идея состоит в том, что любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, который в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1}$  как показано на рисунке.
  • Случай n = 3 был доказан Эгглстоном в 1955 году. Простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено позже Бранко Грюнбаумом и Хеппесом.
  • При всех n для выпуклых тел с гладкой границей — результат Хадвигера (1946).
  • При всех n для всех центрально-симметричных тел. Доказано А. С. Рисслингом.
  • При всех n для всех тел вращения — результат Бориса Декстера 1995 года.
• Контрпримеры
  • В 1993 году Калай^[en] и Кан^[en][1] построили контрпример в размерности ${\displaystyle n=1325}$  и доказали, что гипотеза неверна для всех ${\displaystyle n>2014}$ . Кроме того, они показали, что для достаточно больших ${\displaystyle n}$ , существуют ${\displaystyle n}$ -мерные тела, которые нельзя разбить на ${\displaystyle [1{,}2^{\sqrt {n}}]}$  части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x).
  • В 1997 году А. М. Райгородский представил контрпример^[2] в размерности n = 561, обобщаемый на все размерности, большие, чем 561^[3].
  • В 2003 году А.Хинрихс, Х.Рихтер получили результат^[4], который показывает, что гипотеза неверна для всех ${\displaystyle n\geqslant 298}$ .
  • В 2013 году доказано, что гипотеза Борсука неверна для всех ${\displaystyle n\geqslant 64}$  ^{[5] [6]}.

1. ↑ J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
2. ↑ А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.
3. ↑ М. Л. Гервер, “О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры”, Матем. просв., сер. 3, 3, МЦНМО, М., 1999, 168–183  (неопр.). www.mathnet.ru. Дата обращения: 13 марта 2016.
4. ↑ A. Hinrichs and C. Richter, New sets with large Borsuk numbers Архивная копия от 27 сентября 2007 на Wayback Machine, Discrete Math. 270 (2003), 137—147
5. ↑ Andriy V. Bondarenko, On Borsuk's conjecture for two-distance sets
6. ↑ Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Разбиение фигур на меньшие части, «Популярные лекции по математике», Выпуск 50, М., «Наука» 1971 г., 88 стр.
• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. (1965) (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
• М. Л. Гервер, «О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
• А. Б. Скопенков, «n-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
• Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрия и теории выпуклых тел. М., «Наука», 1971.