Гиперсфера

Гиперсфера радиуса ${\displaystyle R}$  с центром в точке ${\displaystyle a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}}$  задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

${\displaystyle (x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}}$ 

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

${\displaystyle x=\rho \cdot \cos \alpha }$ 

${\displaystyle y=\rho \cdot \sin \alpha }$ 

а сферические координаты так:

${\displaystyle x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta }$ 

${\displaystyle y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta }$ 

${\displaystyle z=\rho \cdot \cos \beta }$ 

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

${\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \dots \cdot \sin \alpha _{n-1}}$ 

${\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \dots \cdot \sin \alpha _{n-1}}$ 

${\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \dots \cdot \sin \alpha _{n-1}}$ 

${\displaystyle \dots }$ 

${\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{n-1}}$ 

Якобиан этого преобразования равен

${\displaystyle J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \dots \cdot \sin ^{n-2}\,\alpha _{n-1}}$ 

Площадь поверхности ${\displaystyle ~S_{n}}$  гиперсферы размерности ${\displaystyle ~n}$  и объём ${\displaystyle ~V_{n}}$ , ограниченный ею (объём шара), можно рассчитать по формулам^[1][2]:

${\displaystyle ~S_{n}=nC_{n}R^{n-1}}$ 

${\displaystyle V_{n}=C_{n}R^{n}\ }$ 

где

${\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({n \over 2}+1)}}}$ 

а ${\displaystyle ~\Gamma (x)}$  — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

${\displaystyle C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}$ 

${\displaystyle C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}}$ 

Здесь ${\displaystyle ~n!!}$  — двойной факториал.

Так как

${\displaystyle ~V_{n}/S_{n-1}=R/n}$ 

${\displaystyle ~S_{n+1}/V_{n}=2\pi R}$ 

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}}$ 

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объем для ${\displaystyle S_{6}}$  и ${\displaystyle V_{5}}$  соответственно.

Обратите внимание, что в строке "размерность" таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится.

В данном разделе под сферой ${\displaystyle S_{n}}$  будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром ${\displaystyle B_{n}}$  — n-мерный гипершар, то есть ${\displaystyle S_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+1}}$ , ${\displaystyle B_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ .

• Сфера ${\displaystyle S_{n}}$  гомеоморфна факторизации шара ${\displaystyle B_{n}}$  по его границе.
• Шар ${\displaystyle B_{n}}$  гомеоморфен факторизации ${\displaystyle B_{n}\simeq (S_{n-1}\times [0,1])/(S_{n-1}\times \{1\})}$ .
• Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных ${\displaystyle B_{0}=\mathrm {pt} }$  и ${\displaystyle B_{n}}$ . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая ${\displaystyle S_{n}}$  вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные ${\displaystyle B_{n}}$ , и сферу ${\displaystyle S_{n-1}}$ , являющуюся их общей границей.

• Расслоение Хопфа

• Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов
• Тренажер для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях