Геометрия Римана

  • Разделы:

    Не следует путать с Риманова геометрия.

    Геометрия Римана (эллиптическая геометрия) — одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовой кривизной, т.е. на сферах. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).

    В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т.д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формулаΣ=π+S/R2,{displaystyle ,Sigma =pi +{S}/{R^{2}},}где Σ{displaystyle ,Sigma } — сумма углов треугольника, R{displaystyle ,R} — радиус сферы, на которой реализована геометрия.

    Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

    Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость.Именно, рассмотрим сферу S{displaystyle ,S} с центром в точке O{displaystyle ,O} в трехмерном пространстве E{displaystyle ,E}. Каждая точка A∈S{displaystyle Ain S} вместе с центром сферы O{displaystyle ,O} определяет некоторую прямую l⊂E{displaystyle lsubset E}, т.е. некоторую точку A∗{displaystyle ,A_{*}} проективной плоскости Π{displaystyle ,Pi }. Сопоставление A→A∗{displaystyle Ato A_{*}} определяет отображение S→Π{displaystyle Sto Pi }, большие круги на S{displaystyle ,S} (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости Π{displaystyle ,Pi }, при этом в одну точку A∗∈Π{displaystyle A_{*}in Pi } переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой A∈S{displaystyle Ain S} и диаметрально противоположная ей точка A′∈S{displaystyle A’in S} (см. рисунок). Евклидовы движения пространства E{displaystyle ,E}, переводящие сферу S{displaystyle ,S} в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости Π{displaystyle ,Pi }, которые являются движениями геометрии Римана. В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.

    Геометрия Римана не является абсолютной геометрией. В частности, в ней нет естественного понятия «точка C лежит между точками A и B», которое используется в аксиоматике абсолютной геометрии. Действительно, на прямую проективной плоскости Π{displaystyle ,Pi } отображается большой круг на сфере S{displaystyle ,S}, причем две диаметрально противоположные точки сферы A{displaystyle ,A} и A′{displaystyle ,A’}переходят в одну точку A∗∈Π{displaystyle A_{*}in Pi }. Аналогично, точки B,B′{displaystyle ,B,B’} переходят в одну точку B∗∈Π{displaystyle B_{*}in Pi } и точки C,C′{displaystyle ,C,C’} переходят в одну точку C∗∈Π{displaystyle C_{*}in Pi }.Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка C∗{displaystyle ,C_{*}} лежит между A∗{displaystyle ,A_{*}} и B∗{displaystyle ,B_{*}} и что она не лежит между ними (см. рисунок).

    Литература

    • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
    • Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
    • Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
    • Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
    • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
    • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
    • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
    • Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.