Геодезическая

Разделы:

Геодези́ческая (Геодези́ческая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» в искривлённых пространствах. Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодези́ческие ли́нии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, на сфере — большие круги.

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике.

Содержание

1 Дифференциальная геометрия
- 1.1 Многообразия с аффинной связностью
- 1.2 Римановы и псевдоримановы многообразия
2 Метрическая геометрия
3 Использование в физике
4 Ссылки

Дифференциальная геометрия

Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью ∇{displaystyle nabla }

$nabla$ геодезическая — это кривая γ(t){displaystyle gamma (t)} $gamma (t)$ , удовлетворяющая уравнению

∇γ˙γ˙=0.{displaystyle nabla _{dot {gamma }}{dot {gamma }}=0.}

nabla _{{{dot gamma }}}{dot gamma }=0.

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля

d2xλdt2+Γ μνλdxμdtdxνdt=0 ,{displaystyle {frac {d^{2}x^{lambda }}{dt^{2}}}+Gamma _{~mu nu }^{lambda }{frac {dx^{mu }}{dt}}{frac {dx^{nu }}{dt}}=0 ,}

{frac {d^{2}x^{lambda }}{dt^{2}}}+Gamma _{{~mu nu }}^{{lambda }}{frac {dx^{mu }}{dt}}{frac {dx^{nu }}{dt}}=0 ,

где xμ(t){displaystyle x^{mu }(t)}

x^{mu }(t)

— координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия

В римановых и псевдоримановых пространствах, геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии

E(γ)=∫γg(γ˙(t),γ˙(t))dt.{displaystyle E(gamma )=int limits _{gamma }limits !g({dot {gamma }}(t),{dot {gamma }}(t)),dt.}

{displaystyle E(gamma )=int limits _{gamma }limits !g({dot {gamma }}(t),{dot {gamma }}(t)),dt.}

Здесь γ(t){displaystyle gamma (t)}

$gamma (t)$ — кривая в пространстве, g{displaystyle g} $g$ — метрика.(В физике этот интеграл принято называть интегралом действия).

Это условие эквивалентно тому, что

∇γ˙γ˙=0{displaystyle nabla _{dot {gamma }}{dot {gamma }}=0}

nabla _{{{dot gamma }}}{dot gamma }=0

вдоль всей кривой, где ∇{displaystyle nabla }

$nabla$ обозначает связность Леви-Чивита.

Метрическая геометрия

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Для римановых многообразий, это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.

Использование в физике

Геодези́ческие ли́нии активно используются в релятивистской физике. Так, например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.