Геодезическая

Геодези́ческая (Геодези́ческая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» в искривлённых пространствах. Конкретное определение геодезической линии зависит от типа пространства. Например, на двумерной поверхности, вложенной в евклидово трёхмерное пространство, геодези́ческие ли́нии — это линии, достаточно малые дуги которых являются на этой поверхности кратчайшими путями между их концами. На плоскости это будут прямые, на круговом цилиндре — винтовые линии, на сфере — большие круги.

Геодезические линии активно используются в релятивистской физике.

Дифференциальная геометрия

Многообразия с аффинной связностью

В многообразиях с аффинной связностью $\nabla$ геодезическая — это кривая $\gamma (t)$ , удовлетворяющая уравнению

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0.

В координатном виде можно переписать это уравнение, используя символы Кристоффеля

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0\ ,

где

x^{\mu }(t)

— координаты кривой.

Иными словами, кривая является геодезической, если параллельно переносимый вдоль неё вектор, бывший касательным к кривой в начальной точке, остаётся касательным везде.

Римановы и псевдоримановы многообразия

В римановых и псевдоримановых пространствах, геодезическая определяется как критическая кривая интеграла энергии

E(\gamma )=\int \limits _{\gamma }\limits \!g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.

Здесь $\gamma (t)$ — кривая в пространстве, $g$ — метрика. (В физике этот интеграл принято называть интегралом действия).

Это условие эквивалентно тому, что

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0

вдоль всей кривой, где $\nabla$ обозначает связность Леви-Чивита.

Метрическая геометрия

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

Для римановых многообразий, это определение задаёт тот же класс кривых, что и дифференциально-геометрическое определение, приведённое выше.

Использование в физике

Геодези́ческие ли́нии активно используются в релятивистской физике. Так, например, траектория свободно падающего незаряжённого пробного тела в общей теории относительности и вообще в метрических теориях гравитации является геодезической линией наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, движущимися вместе с телом.

Часто физическую теорию, обладающую действием или выраженную в гамильтоновой форме, можно переформулировать как задачу отыскания геодезических линий на некотором римановом или псевдоримановом многообразии.