Возведение в степень

Запись ${\displaystyle a^{n}}$  обычно читается как «a в ${\displaystyle n}$ -й степени» или «a в степени n». Например, ${\displaystyle 10^{4}}$  читается как «десять в четвёртой степени», ${\displaystyle 10^{3/2}}$  читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, ${\displaystyle 10^{2}}$  читается как «десять в квадрате», ${\displaystyle 10^{3}}$  читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо ${\displaystyle a^{2}}$ , ${\displaystyle a^{3}}$  древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали^[2].

Число, являющееся результатом возведения натурального числа в ${\displaystyle n}$ -ую степень, называется точной ${\displaystyle n}$ -ой степенью. В частности, число, являющееся результатом возведения натурального числа в квадрат (куб), называется точным квадратом (кубом). Точный квадрат также называется полным квадратом.

Основные свойства

Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел^[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени^[⇨].

• ${\displaystyle a^{1}=a}$ 
• ${\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}$ 
• ${\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}$ 
• ${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}$ 
• ${\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}$ 
• ${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}$ .

Запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$  не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}}$  Например, ${\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$ , а ${\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}$ . В математике принято считать запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$  равнозначной ${\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}$ , а вместо ${\displaystyle (a^{n})^{m}}$  можно писать просто ${\displaystyle a^{nm}}$ , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$ , например, ${\displaystyle 2^{5}=32}$ , но ${\displaystyle 5^{2}=25.}$ 

Таблица натуральных степеней небольших чисел

Целая степень

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль^[4]::

${\displaystyle a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\\0,&z>0,a=0\end{cases}}}$ 

Результат не определён при ${\displaystyle a=0}$  и ${\displaystyle z\leqslant 0}$ .

Рациональная степень

Возведение в рациональную степень ${\displaystyle m/n,}$  где ${\displaystyle m}$  — целое число, а ${\displaystyle n}$  — натуральное, положительного числа определяется следующим образом^[4]:

${\displaystyle a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$ .

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

${\displaystyle 0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .}$ 

Для отрицательных ${\displaystyle a}$  степень с дробным показателем не рассматривается.

Следствие: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .}$  Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Вещественная степень

Если ${\displaystyle a\geqslant 0,r}$  — вещественные числа, причём ${\displaystyle r}$  — иррациональное число, возможно определить ${\displaystyle a^{r}}$  следующим образом: поскольку любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для ${\displaystyle r}$  рациональный интервал ${\displaystyle [p,q]}$  с любой степенью точности, то общая часть всех соответствующих интервалов ${\displaystyle [a^{p},a^{q}]}$  состоит из одной точки, которая и принимается за ${\displaystyle a^{r}}$ .

Полезные формулы:

${\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}$ 

${\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}$ 

${\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}$ 

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции ${\displaystyle x^{y}}$ , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Комплексная степень

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением в тригонометрической форме. Результат однозначен:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi );\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R} }$  , (формула Муавра).

Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента ${\displaystyle e^{z}}$ , где ${\displaystyle e}$  — число Эйлера, ${\displaystyle z=x+iy}$  — произвольное комплексное число^[5].

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:

${\displaystyle e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .}$ 

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного ${\displaystyle z,}$  поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для ${\displaystyle e^{iy}}$ :

${\displaystyle e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).}$ 

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$ 

Общий случай ${\displaystyle a^{b}}$ , где ${\displaystyle a,b}$  — комплексные числа, определяется через представление ${\displaystyle a}$  в показательной форме: ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)}}$  согласно определяющей формуле^[5]:

${\displaystyle a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k)})^{b}=e^{b(\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.}$ 

Здесь ${\displaystyle \operatorname {Ln} }$  — комплексный логарифм, ${\displaystyle \ln }$  — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно^[5]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$  в степень ${\displaystyle i.}$  Слева получится ${\displaystyle e^{-2\pi },}$  справа, очевидно, 1. В итоге: ${\displaystyle e^{-2\pi }=1,}$  что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень ${\displaystyle i}$  даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных ${\displaystyle k}$ ), поэтому правило ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}}$  здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа ${\displaystyle e^{-2\pi k};}$  отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при ${\displaystyle k=0}$  и при ${\displaystyle k=1.}$ 

Разновидности

Поскольку в выражении ${\displaystyle x^{y}}$  используются два символа (${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$ ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

• Функция переменной ${\displaystyle x}$  (при этом ${\displaystyle y}$  — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня.
• Функция переменной ${\displaystyle y}$  (при этом ${\displaystyle x}$  — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм.
• Функция двух переменных ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}.}$  Отметим, что в точке ${\displaystyle (0,0)}$  эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$  где ${\displaystyle y=0,}$  она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$  где ${\displaystyle x=0,}$  она равна нулю.

Ноль в степени ноль

Выражение ${\displaystyle 0^{0}}$  (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$  в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$ 

можно записать короче:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}$ 

Следует предостеречь, что соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$  чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

Обозначение

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, ${\displaystyle x^{4}}$  изображалось как ${\displaystyle xxxx.}$  Отред записывал ${\displaystyle x^{5}-15x^{4}}$  следующим образом: ${\displaystyle 1qc-15qq}$  (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)^[6]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени^[7]; например, ${\displaystyle (2)2+1(2)}$  у него означало ${\displaystyle 2^{2}+x^{2}}$ . Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали ${\displaystyle x^{4}}$  в виде ${\displaystyle x4}$  и ${\displaystyle x^{IV}}$  соответственно^[8].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)^[8][9].

Запись возведения в степень в языках программирования

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)}}$ .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

• x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc^{[К 2]}, Haskell^{[К 3]}, Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;
• x ^^ y: Haskell^{[К 4]}, D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP^{[К 5]}, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell^{[К 6]}, Turing^[en], VHDL, ECMAScript^{[К 7][К 8]}, AutoHotkey^{[К 8]}, JavaScript;
• x⋆y: APL.

Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.

Возведение в степень с натуральным показателем можно определить не только для чисел, но и для нечисловых объектов, для которых определено умножение — например, к матрицам, линейным операторам, множествам (относительно декартова произведения, см. декартова степень).

Обычно эта операция рассматривается в некотором мультипликативном моноиде ${\displaystyle M}$  (полугруппе с единицей) и определяется индуктивно^[10] для любого ${\displaystyle x\in M}$ :

• ${\displaystyle x^{0}=e}$  (где ${\displaystyle e}$  — единица моноида).
• ${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x}$ , где ${\displaystyle n\geqslant 0}$ 
• Если ${\displaystyle n<0,}$  то ${\displaystyle x^{n}}$  определён только для обратимых элементов ${\displaystyle x.}$ 

Особенную ценность представляет применение возведения в степень к группам и полям, где возникает прямой аналог отрицательных степеней.

Гипероператор возведения в степень — тетрация.

Комментарии

• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — 509 с.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.

• Возведение в степень: правила, примеры  (неопр.). Дата обращения: 2 февраля 2020.