Внешняя алгебра

Внешняя алгебра ${\displaystyle \bigwedge V}$  векторного пространства ${\displaystyle \ V}$  над полем ${\displaystyle \ K}$  — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком ${\displaystyle \wedge }$ , а порождающими элементами являются ${\displaystyle 1,\mathbf {e_{1},\dots ,e_{n}} }$ , где ${\displaystyle \mathbf {e_{1},\dots ,e_{n}} }$  — базис пространства ${\displaystyle \ V}$ . Определяющие соотношения имеют вид

• ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i}\,(i,j=1,\dots ,n),\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0}$ ;
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge 1=1\wedge \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i}\,(i=1,\dots ,n),\,1\wedge 1=1}$ .

Внешняя алгебра обычно обозначается ${\displaystyle \wedge V}$ , она не зависит от выбора базиса.

• Операция ${\displaystyle \wedge }$  называется внешним произведением.
• Подпространство ${\displaystyle \wedge ^{r}V}$  (для ${\displaystyle r=0,1,\dots ,n}$ ) в ${\displaystyle \wedge V}$ , порождённое элементами вида ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge ...\wedge e_{i_{r}}}$ , называется ${\displaystyle r}$ -ой внешней степенью пространства ${\displaystyle V}$ .

• Имеют место равенства:

${\displaystyle \operatorname {dim} \wedge V=2^{n}}$ 

${\displaystyle \operatorname {dim} \wedge ^{r}V=C_{n}^{r}}$ , в частности

${\displaystyle \wedge ^{r}V=0}$  при ${\displaystyle r>n}$ .

• градуированная коммутативность: ${\displaystyle u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u}$ , если ${\displaystyle u\in \wedge ^{r}V}$ ,${\displaystyle v\in \wedge ^{s}V}$ .
• Для произвольной 1-формы ${\displaystyle \omega \in \wedge ^{1}V}$  её квадрат нулевой:

${\displaystyle \omega \wedge \omega =0}$ 

Следует отметить, что для форм порядка отличного от единицы это неверно.

• Элементы пространства ${\displaystyle \wedge ^{r}V}$  называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над ${\displaystyle V}$ , с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

    ${\displaystyle ({\mathbf {a}}\wedge {\mathbf {b}})_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}$ 

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

    ${\displaystyle ({\mathbf {a}}\wedge {\mathbf {b}})_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2}$ 

• Линейно независимые системы из ${\displaystyle r}$  векторов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$  и ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{r}}$  из ${\displaystyle V}$  порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда ${\displaystyle r}$ -векторы ${\displaystyle x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}}$  и ${\displaystyle y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}}$  пропорциональны.
• Алгебра ${\displaystyle \wedge V}$  имеет структуру градуированной алгебры:

${\displaystyle \wedge V=K\oplus \bigoplus _{r=1}^{\infty }\wedge ^{r}V}$ 

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор