Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.
Содержание
Определение
Внешняя алгебра ⋀V{displaystyle bigwedge V}
векторного пространства V{displaystyle V} над полем K{displaystyle K} — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком ∧{displaystyle wedge } , а порождающими элементами являются1,e1,…,en{displaystyle 1,mathbf {e_{1},dots ,e_{n}} } , где e1,…,en{displaystyle mathbf {e_{1},dots ,e_{n}} } — базис пространства V{displaystyle V} . Определяющие соотношения имеют вид
над 
— 
, а порождающими элементами являются1,e1,…,en{displaystyle 1,mathbf {e_{1},dots ,e_{n}} }
, где e1,…,en{displaystyle mathbf {e_{1},dots ,e_{n}} }
— - ei∧ej=−ej∧ei(i,j=1,…,n),ei∧ei=0{displaystyle mathbf {e} _{i}wedge mathbf {e} _{j}=-mathbf {e} _{j}wedge mathbf {e} _{i},(i,j=1,dots ,n),,mathbf {e} _{i}wedge mathbf {e} _{i}=0} ;
- ei∧1=1∧ei=ei(i=1,…,n),1∧1=1{displaystyle mathbf {e} _{i}wedge 1=1wedge mathbf {e} _{i}=mathbf {e} _{i},(i=1,dots ,n),,1wedge 1=1} .
;
.Внешняя алгебра обычно обозначается ∧V{displaystyle wedge V}
, она не зависит от выбора базиса.
, она не зависит от выбора базиса.Связанные определения
- Операция ∧{displaystyle wedge } называется внешним произведением.
- Подпространство ∧rV{displaystyle wedge ^{r}V} (для r=0,1,…,n{displaystyle r=0,1,dots ,n} ) в ∧V{displaystyle wedge V} , порождённое элементами вида ei1∧…∧eir{displaystyle e_{i_{1}}wedge …wedge e_{i_{r}}} , называется r{displaystyle r} -ой внешней степенью пространства V{displaystyle V} .
(для r=0,1,…,n{displaystyle r=0,1,dots ,n}
) в ∧V{displaystyle wedge V}
, называется r{displaystyle r}
-ой внешней степенью пространства V{displaystyle V}
.Свойства
- Имеют место равенства:
-
- dim∧V=2n{displaystyle operatorname {dim} wedge V=2^{n}}
- dim∧rV=Cnr{displaystyle operatorname {dim} wedge ^{r}V=C_{n}^{r}} , в частности
- ∧rV=0{displaystyle wedge ^{r}V=0} при r>n{displaystyle r>n} .
, в частности
при r>n{displaystyle r>n}
.- градуированная коммутативность: u∧v=(−1)rsv∧u{displaystyle uwedge v=(-1)^{rs}vwedge u} , если u∈∧rV{displaystyle uin wedge ^{r}V} ,v∈∧sV{displaystyle vin wedge ^{s}V} .
- Для произвольной 1-формы ω∈∧1V{displaystyle omega in wedge ^{1}V} её квадрат нулевой:
, если u∈∧rV{displaystyle uin wedge ^{r}V}
,v∈∧sV{displaystyle vin wedge ^{s}V}
.
её квадрат нулевой:-
- ω∧ω=0{displaystyle omega wedge omega =0}
Следует отметить, что для форм порядка отличного от единицы это неверно.
- Элементы пространства ∧rV{displaystyle wedge ^{r}V} называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V{displaystyle V} , с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- (a∧b)ij=aibj−ajbi{displaystyle ({mathbf {a}}wedge {mathbf {b}})_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}
- Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
- (a∧b)ij=(aibj−ajbi)/2{displaystyle ({mathbf {a}}wedge {mathbf {b}})_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2}
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- Линейно независимые системы из r{displaystyle r} векторов x1,…,xr{displaystyle x_{1},dots ,x_{r}} и y1,…,yr{displaystyle y_{1},dots ,y_{r}} из V{displaystyle V} порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r{displaystyle r} -векторы x1∧⋯∧xr{displaystyle x_{1}wedge dots wedge x_{r}} и y1∧⋯∧yr{displaystyle y_{1}wedge dots wedge y_{r}} пропорциональны.
- Алгебра ∧V{displaystyle wedge V} имеет структуру градуированной алгебры:
и y1,…,yr{displaystyle y_{1},dots ,y_{r}}
из V{displaystyle V}
и y1∧⋯∧yr{displaystyle y_{1}wedge dots wedge y_{r}}
пропорциональны.- ∧V=K⊕⨁r=1∞∧rV{displaystyle wedge V=Koplus bigoplus _{r=1}^{infty }wedge ^{r}V}
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
См. также
| Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |
