Внешняя алгебра

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.

Определение

Внешняя алгебра   векторного пространства   над полем   — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком  , а порождающими элементами являются  , где   — базис пространства  . Определяющие соотношения имеют вид

  •  ;
  •  .

Внешняя алгебра обычно обозначается  , она не зависит от выбора базиса.

Связанные определения

  • Операция   называется внешним произведением.
  • Подпространство   (для  ) в  , порождённое элементами вида  , называется  -ой внешней степенью пространства  .

Свойства

  • Имеют место равенства:
 
 , в частности
  при  .
  • градуированная коммутативность:  , если  , .
  • Для произвольной 1-формы   её квадрат нулевой:
 

Следует отметить, что для форм порядка отличного от единицы это неверно.

  • Элементы пространства   называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над  , с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
    • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
       
    • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
       
  • Линейно независимые системы из   векторов   и   из   порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда  -векторы   и   пропорциональны.
  • Алгебра   имеет структуру градуированной алгебры:
 

Ссылки

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

См. также