Вектор (алгебра)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор.

Ве́ктор, вообще говоря — элемент векторного пространства, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, подчиняющиеся определенным аксиомам. На линейном пространстве могут быть определены и дополнительные структуры/операции, такие например, как скалярное произведение, что приводит к специальным, более развитым типам линейных пространств, но их элементы продолжают называться векторами.

В современной математике векторное (линейное) пространство обычно определяется аксиоматически, что позволяет иметь дело с наиболее общим определением.Однако это ничуть не уменьшает ценности конструктивных определений, обычно более частных, которые приспособлены к нуждам конкретной области математики.

Содержание

1 Элементарная геометрия
2 Вектор как последовательность
3 Обозначения
4 См. также

Элементарная геометрия

Различают понятие свободного и связанного вектора.

Связанный вектор или направленный отрезок — упорядочная пара точек евклидова пространства.
Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом, два направленных отрезка считаются эквивалентными если они:

коллинеарны
равны по длине
одинаково направлены

Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с сответственным переносом.

Вектор как последовательность

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения эл-тов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки принятого обычно в алгебре, да и математике вообще.

С другой стороны, многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции итд), в том числе, как видно уже из последнего примера, обладающие структурой, вообще говоря, более общей, чем счетный, а тем более конечный, упорядоченный список, тем не менее удовлетворяют аксиомам векторного пространства, т.е. являются с точки зрения алгебры векторами.

Впрочем, в большинстве случаев, с которыми реально работают и которые достаточно хорошо изучены, такие объекты все-таки можно представить каким-то образом по крайней мере не более, чем счетным списком элементов (а векторные операции над объектами — соответствующими операциями над списком).

Обозначения

Вектор, представленный набором n{displaystyle n}

$n$ элементов (компонент) a1,a2,…,an{displaystyle a_{1},a_{2},…,a_{n}} $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ допустимо обозначить следующим способами:

⟨a1,a2,…,an⟩, (a1,a2,…,an){displaystyle langle a_{1},a_{2},…,a_{n},rangle , left(a_{1},a_{2},…,a_{n},right)}

{displaystyle langle a_{1},a_{2},...,a_{n},rangle , left(a_{1},a_{2},...,a_{n},right)}

Для того чтобы, подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр) используют черту сверху, стрелочку сверху жирный или готический шрифт:

a¯, a→,a,A, a.{displaystyle {bar {a}}, {vec {a}},mathbf {a} ,{mathfrak {A}}, {mathfrak {a}}.}

{bar a}, {vec a},{mathbf a},{mathfrak A}, {mathfrak a}.

Сложение векторов почти всегда обозначается простым знаком плюс:

a¯+b¯{displaystyle {bar {a}}+{bar {b}}}

{displaystyle {bar {a}}+{bar {b}}}

Умножение на число (и на линейный оператор тоже) — просто написанием рядом, без специального знака, например:

ka¯{displaystyle k{bar {a}}}

{displaystyle k{bar {a}}}

причем число или линейный оператор по возможности при этом пишут слева (в некоторых случаях приходится поступать по-другому, особенно в случае умножения на оператор или матрицу).

Длина (модуль) вектора a¯{displaystyle {bar {a}}}

${bar {a}}$ — скаляр и обозначается |a¯|{displaystyle |{bar {a}}|} ${displaystyle |{bar {a}}|}$ .

См. также

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.