Вектор-функция

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$  отображает некоторый интервал вещественных чисел ${\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}}$  в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }$ , мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}} }$ 

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$  имеет предел ${\displaystyle \mathbf {r_{0}} }$  в точке ${\displaystyle t=t_{0}}$ , если ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0}$  (здесь и далее ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$  обозначают модуль вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

• Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
• Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
• Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$  по параметру:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}$ .

Если производная в точке ${\displaystyle t}$  существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут ${\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}$ .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$  — производная суммы есть сумма производных
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}$  — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$  — дифференцирование скалярного произведения.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}$  — дифференцирование векторного произведения.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}$  — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)}$  (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)}$  имеет вид:

${\displaystyle x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)}$ 

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будут две: ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$ . Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём ${\displaystyle \left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]}$  не обращается тождественно в ноль.

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

${\displaystyle u=u(t);\ v=v(t)}$ ,

где t — параметр кривой. Зависимости ${\displaystyle u(t),\ v(t)}$  предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

${\displaystyle u=t;\ v=const}$  — первая координатная линия.

${\displaystyle u=const;\ v=t}$  — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек (${\displaystyle \left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]}$  нигде не обращается в ноль), то через каждую точку участка поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярной переменной см.: Теория поверхностей.

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Краснов М. Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965.