Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством (например, может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой): каждой точке пространства сопоставляется векторное пространство так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над .
Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.
Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами. В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными. Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.
Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.
Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой является векторным пространством, снабжённым структурой группы Ли обратимых линейных преобразований .
Вещественное векторное расслоение состоит из:
причём для любой точки из существует открытая окрестность , натуральное число и гомеоморфизм
такой, что для любого ,
Открытая окрестность вместе с гомеоморфизмом называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальной тривиализация показывает, что локально отображение «похоже» на проекцию на .
Каждый слой — конечномерное вещественное векторное пространство, поэтому его размерность равна . Локальная тривиализация показывает, что функция — локально постоянна, поэтому она постоянна на каждой компоненте связности . Если равняется постоянной на всём , то называется рангом векторного расслоения, а называют векторным расслоением ранга . Векторные расслоения ранга называются линейными расслоениями.
Морфизм из векторного расслоения в векторное расслоение задается парой непрерывных отображений и , таких что
Заметим, что определяется (так как — сюрьекция), в таком случае говорят, что покрывает .
Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.
Гомоморфизм расслоений из в , вместе с обратным гомоморфизмом, называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения и называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга ) над на тривиальное расслоение (ранга над ) называется тривиализацией , при этом называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.
Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.
Например, если — векторное расслоение на , то существует расслоение на , называемое сопряженным расслоением, слой которого в точке — это сопряженное векторное пространство . Формально можно определить как множество пар , где и . Сопряженное расслоение локально тривиально.
Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений на (над заданным полем). Вот несколько примеров.