Векторное расслоение

• Простейший пример — тривиальное расслоение, которое имеет вид прямого произведения ${\displaystyle X\times V}$ , где ${\displaystyle X}$  — топологическое пространство, база расслоения, а ${\displaystyle V}$  векторное пространство.
• Более сложный пример — это касательное расслоение гладкого многообразия: каждой точке на многообразии сопоставляется касательное пространство к многообразию в этой точке.

Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.

Определение 1

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой ${\displaystyle V}$  является векторным пространством, снабжённым структурой группы Ли обратимых линейных преобразований ${\displaystyle V}$ .

Определение 2

Вещественное векторное расслоение состоит из:

1. топологических пространств ${\displaystyle X}$  (основного пространства) и ${\displaystyle E}$  (полного пространства)
2. непрерывного отображения ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$  (проекция расслоения)
3. для любого ${\displaystyle x\in X}$  — структуры вещественного векторного пространства на слое ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$ 

причём для любой точки из ${\displaystyle X}$  существует открытая окрестность ${\displaystyle U}$ , натуральное число ${\displaystyle k}$  и гомеоморфизм

${\displaystyle \varphi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\rightarrow \pi ^{-1}(U)}$ 

такой, что для любого ${\displaystyle x\in U}$ ,

• ${\displaystyle \pi \varphi (x,v)=x}$  для всех векторов ${\displaystyle v}$  из ${\displaystyle R^{k}}$ , и

• отображение ${\displaystyle v\to \varphi (x,v)}$  — изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle R^{k}}$  и ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$ .

Открытая окрестность ${\displaystyle U}$  вместе с гомеоморфизмом ${\displaystyle \varphi }$  называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальной тривиализация показывает, что локально отображение ${\displaystyle \pi }$  «похоже» на проекцию ${\displaystyle U\times R^{k}}$  на ${\displaystyle U}$ .

Каждый слой ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$  — конечномерное вещественное векторное пространство, поэтому его размерность равна ${\displaystyle k_{x}}$ . Локальная тривиализация показывает, что функция ${\displaystyle x\to k_{x}}$  — локально постоянна, поэтому она постоянна на каждой компоненте связности ${\displaystyle X}$ . Если ${\displaystyle k_{x}}$  равняется постоянной ${\displaystyle k}$  на всём ${\displaystyle X}$ , то ${\displaystyle k}$  называется рангом векторного расслоения, а ${\displaystyle E}$  называют векторным расслоением ранга ${\displaystyle k}$ . Векторные расслоения ранга ${\displaystyle 1}$  называются линейными расслоениями.

Морфизм из векторного расслоения ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1}}$  в векторное расслоение ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2}}$  задается парой непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$  и ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2}}$ , таких что

• ${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$ 
• для любого ${\displaystyle x\in X_{1}}$ , отображение ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{1}^{-1}(\{g(x)\}),}$  индуцированное ${\displaystyle f,}$  — линейное отображение векторных пространств.

Заметим, что ${\displaystyle g}$  определяется ${\displaystyle f}$  (так как ${\displaystyle \pi _{1}}$  — сюрьекция), в таком случае говорят, что ${\displaystyle f}$  покрывает ${\displaystyle g}$ .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.

Гомоморфизм расслоений из ${\displaystyle E_{1}}$  в ${\displaystyle E_{2}}$ , вместе с обратным гомоморфизмом, называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения ${\displaystyle E_{1}}$  и ${\displaystyle E_{2}}$  называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга ${\displaystyle k}$ ) ${\displaystyle E}$  над ${\displaystyle X}$  на тривиальное расслоение (ранга ${\displaystyle k}$  над ${\displaystyle X}$ ) называется тривиализацией ${\displaystyle E}$ , при этом ${\displaystyle E}$  называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.

Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.

Например, если ${\displaystyle E}$  — векторное расслоение на ${\displaystyle X}$ , то существует расслоение ${\displaystyle E^{*}}$  на ${\displaystyle X}$ , называемое сопряженным расслоением, слой которого в точке ${\displaystyle x\in X}$  — это сопряженное векторное пространство ${\displaystyle (E_{x})^{*}}$ . Формально ${\displaystyle E^{*}}$  можно определить как множество пар ${\displaystyle (x,\varphi )}$ , где ${\displaystyle x\in X}$  и ${\displaystyle \varphi \in E_{x}^{*}}$ . Сопряженное расслоение локально тривиально.

Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений ${\displaystyle E,F}$  на ${\displaystyle X}$  (над заданным полем). Вот несколько примеров.

• Сумма Уитни или расслоение прямой суммы ${\displaystyle E}$  и ${\displaystyle F}$  — это векторное расслоение ${\displaystyle E\oplus F}$  на ${\displaystyle X}$ , слой которого в точке ${\displaystyle x}$  является прямой суммой ${\displaystyle E_{x}\oplus F_{x}}$  векторных пространств ${\displaystyle E_{x}}$  и ${\displaystyle F_{x}}$ .

• Расслоение тензорного произведения ${\displaystyle E\otimes F}$  определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.

• Расслоение гомоморфизмов (hom-bundle) ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E,F)}$  — это векторное расслоение, слой которого в точке ${\displaystyle x}$  — пространство линейных отображений из ${\displaystyle E_{x}}$  в ${\displaystyle F_{x}}$  (часто обозначаемое ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})}$  или ${\displaystyle L(E_{x},F_{x})}$ ). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из ${\displaystyle E}$  в ${\displaystyle F}$  на ${\displaystyle X}$  и частями ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E,F)}$  на ${\displaystyle X}$ .

• Абелева категория
• Группа Гротендика

• Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.5.
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.5.