Векторное расслоение

Векторным расслоением называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству векторных пространств, параметризованных другим пространством (например, может быть топологическим пространством, многообразием или алгебраической структурой): каждой точке пространства сопоставляется векторное пространство так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и т. п.), называемое пространством векторного расслоения над .

Векторное расслоение является особым типом локально тривиальных расслоений, которые в свою очередь являются особым типом расслоений.

Обычно рассматривают векторные пространства над вещественными или комплексными числами. В таком случае векторные расслоения называются соответственно вещественными или комплексными. Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные с дополнительно введённой структурой.

Примеры

Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.

Определения и первые следствия

Определение 1

Векторное расслоение — это локально тривиальное расслоение, у которого слой   является векторным пространством, снабжённым структурой группы Ли обратимых линейных преобразований  .

Определение 2

Вещественное векторное расслоение состоит из:

  1. топологических пространств   (основного пространства) и   (полного пространства)
  2. непрерывного отображения   (проекция расслоения)
  3. для любого   — структуры вещественного векторного пространства на слое  

причём для любой точки из   существует открытая окрестность  , натуральное число   и гомеоморфизм

 

такой, что для любого  ,

  •   для всех векторов   из  , и
  • отображение   — изоморфизм векторных пространств   и  .

Открытая окрестность   вместе с гомеоморфизмом   называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальной тривиализация показывает, что локально отображение   «похоже» на проекцию   на  .

Каждый слой   — конечномерное вещественное векторное пространство, поэтому его размерность равна  . Локальная тривиализация показывает, что функция   — локально постоянна, поэтому она постоянна на каждой компоненте связности  . Если   равняется постоянной   на всём  , то   называется рангом векторного расслоения, а   называют векторным расслоением ранга  . Векторные расслоения ранга   называются линейными расслоениями.

Морфизмы

Морфизм из векторного расслоения   в векторное расслоение   задается парой непрерывных отображений   и  , таких что

  •  
  • для любого  , отображение   индуцированное   — линейное отображение векторных пространств.

Заметим, что   определяется   (так как   — сюрьекция), в таком случае говорят, что   покрывает  .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений — частный случай отображения расслоений между локально тривиальными расслоениями, их часто называют гомоморфизмом (векторных) расслоений.

Гомоморфизм расслоений из   в  , вместе с обратным гомоморфизмом, называется изоморфизмом (векторных) расслоений. В таком случае расслоения   и   называют изоморфными. Изоморфизм векторного расслоения (ранга  )   над   на тривиальное расслоение (ранга   над  ) называется тривиализацией  , при этом   называют тривиальным (или тривиализуемым). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение локально тривиально.

Операции над расслоениями

Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь поточечно.

Например, если   — векторное расслоение на  , то существует расслоение   на  , называемое сопряженным расслоением, слой которого в точке   — это сопряженное векторное пространство  . Формально   можно определить как множество пар  , где   и  . Сопряженное расслоение локально тривиально.

Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений   на   (над заданным полем). Вот несколько примеров.

  • Сумма Уитни или расслоение прямой суммы   и   — это векторное расслоение   на  , слой которого в точке   является прямой суммой   векторных пространств   и  .
  • Расслоение тензорного произведения   определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.
  • Расслоение гомоморфизмов (hom-bundle)   — это векторное расслоение, слой которого в точке   — пространство линейных отображений из   в   (часто обозначаемое   или  ). Это расслоение полезно, потому что существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из   в   на   и частями   на  .

См. также

Ссылки

  • Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.5.
  • Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.5.