Векторное пространство

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.Запрос «Линейное пространство» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр [1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам.[⇨] Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом следует отметить, что вектор, как элемент векторного пространства, не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.[⇨] Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств [en], где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Содержание

1 Определение
2 Простейшие свойства
3 Связанные определения и свойства
4 Примеры
5 Дополнительные структуры
6 См. также
7 Примечания
8 Литература

Определение

Линейное или векторное пространство V(F){displaystyle Vleft(Fright)}

над полем F{displaystyle F} $F$ — это упорядоченная четвёрка (V,F,+,⋅){displaystyle (V,F,+,cdot )} $(V,F,+,cdot )$ , где

V{displaystyle V} $V$ — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
F{displaystyle F} $F$ — поле, элементы которого называются скалярами;
Определена операция сложения векторов V×V→V{displaystyle Vtimes Vto V} $Vtimes Vto V$ , сопоставляющая каждой паре элементов x,y{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} } $mathbf {x} ,mathbf {y}$ множества V{displaystyle V} $V$ единственный элемент множества V{displaystyle V} $V$ , называемый их суммой и обозначаемый x+y{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} } $mathbf {x} +mathbf {y}$ ;
Определена операция умножения векторов на скаляры F×V→V{displaystyle Ftimes Vto V} $Ftimes Vto V$ , сопоставляющая каждому элементу λ{displaystyle lambda } $lambda$ поля F{displaystyle F} $F$ и каждому элементу x{displaystyle mathbf {x} } $mathbf {x}$ множества V{displaystyle V} $V$ единственный элемент множества V{displaystyle V} $V$ , обозначаемый λ⋅x{displaystyle lambda cdot mathbf {x} } $lambda cdot mathbf {x}$ или λx{displaystyle lambda mathbf {x} } $lambda mathbf {x}$ ;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

x+y=y+x{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} =mathbf {y} +mathbf {x} } $mathbf {x} +mathbf {y} =mathbf {y} +mathbf {x}$ , для любых x,y∈V{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in V} $mathbf {x} ,mathbf {y} in V$ (коммутативность сложения);
x+(y+z)=(x+y)+z{displaystyle mathbf {x} +(mathbf {y} +mathbf {z} )=(mathbf {x} +mathbf {y} )+mathbf {z} } $mathbf {x} +(mathbf {y} +mathbf {z} )=(mathbf {x} +mathbf {y} )+m athbf {z}$ , для любых x,y,z∈V{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} ,mathbf {z} in V} $mathbf {x} ,mathbf {y} ,mathbf {z} in V$ (ассоциативность сложения);
существует такой элемент 0∈V{displaystyle mathbf {0} in V} $mathbf {0} in V$ , что x+0=0+x=x{displaystyle mathbf {x} +mathbf {0} =mathbf {0} +mathbf {x} =mathbf {x} } ${displaystyle mathbf {x} +mathbf {0} =mathbf {0} +mathbf {x} =mathbf {x} }$ для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} $mathbf {x} in V$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором или просто нулём пространства V{displaystyle V} $V$ ;
для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} $mathbf {x} in V$ существует такой элемент −x∈V{displaystyle -mathbf {x} in V} $-mathbf {x} in V$ , что x+(−x)=0{displaystyle mathbf {x} +(-mathbf {x} )=mathbf {0} } $mathbf {x} +(-mathbf {x} )=mathbf {0}$ , называемый вектором, противоположным вектору x{displaystyle mathbf {x} } $mathbf {x}$ ;
α(βx)=(αβ)x{displaystyle alpha (beta mathbf {x} )=(alpha beta )mathbf {x} } $alpha (beta mathbf {x} )=(alpha beta )mathbf {x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);
1⋅x=x{displaystyle 1cdot mathbf {x} =mathbf {x} } $1cdot mathbf {x} =mathbf {x}$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
(α+β)x=αx+βx{displaystyle (alpha +beta )mathbf {x} =alpha mathbf {x} +beta mathbf {x} } $(alpha +beta )mathbf {x} =alpha mathbf {x} +beta mathbf {x}$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
α(x+y)=αx+αy{displaystyle alpha (mathbf {x} +mathbf {y} )=alpha mathbf {x} +alpha mathbf {y} } $alpha (mathbf {x} +mathbf {y} )=alpha mathbf {x} +alpha mathbf {y}$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве V{displaystyle V}

$V$ структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}

$mathbb {R} ^{2}$ может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент 0∈V{displaystyle mathbf {0} in V} $mathbf {0} in V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
0⋅x=0{displaystyle 0cdot mathbf {x} =mathbf {0} } $0cdot mathbf {x} =mathbf {0}$ для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} $mathbf {x} in V$ .
Для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} $mathbf {x} in V$ противоположный элемент −x∈V{displaystyle -mathbf {x} in V} $-mathbf {x} in V$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
1⋅x=x{displaystyle 1cdot mathbf {x} =mathbf {x} } $1cdot mathbf {x} =mathbf {x}$ для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} $mathbf {x} in V$ .
(−α)⋅x=α⋅(−x)=−(αx){displaystyle (-alpha )cdot mathbf {x} =alpha cdot (-mathbf {x} )=-(alpha mathbf {x} )} $(-alpha )cdot mathbf {x} =alpha cdot (-mathbf {x} )=-(alpha mathbf {x} )$ для любых α∈F{displaystyle alpha in F} $alpha in F$ и x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} $mathbf {x} in V$ .
α⋅0=0{displaystyle alpha cdot mathbf {0} =mathbf {0} } $alpha cdot mathbf {0} =mathbf {0}$ для любого α∈F{displaystyle alpha in F} $alpha in F$ .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение:Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K{displaystyle K}

$K$ линейного пространства V{displaystyle V} $V$ такое, что K{displaystyle K} $K$ само является линейным пространством по отношению к определенным в V{displaystyle V} $V$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(V){displaystyle mathrm {Lat} (V)} ${displaystyle mathrm {Lat} (V)}$ . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

для всякого вектора x∈K{displaystyle mathbf {x} in K} $mathbf {x} in K$ вектор αx{displaystyle alpha mathbf {x} } $alpha mathbf {x}$ также принадлежал K{displaystyle K} $K$ при любом α∈F{displaystyle alpha in F} $alpha in F$ ;
для всяких векторов x,y∈K{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in K} $mathbf {x} ,mathbf {y} in K$ вектор x+y{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} } $mathbf {x} +mathbf {y}$ также принадлежал K{displaystyle K} .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов x,y∈K{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in K}

mathbf {x} ,mathbf {y} in K

вектор αx+βy{displaystyle alpha mathbf {x} +beta mathbf {y} }

alpha mathbf {x} +beta mathbf {y}

также принадлежал K{displaystyle K}

K

для любых α,β∈F{displaystyle alpha ,beta in F}

alpha ,beta in F

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств

Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
Сумма подпространств {Ki|i∈1…N}{displaystyle {K_{i}quad |quad iin 1ldots N}} определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki{displaystyle K_{i}} :

∑i=1NKi:={x1+x2+…+xN|xi∈Ki(i∈1…N)}{displaystyle sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:={mathbf {x} _{1}+mathbf {x} _{2}+ldots +mathbf {x} _{N}quad |quad mathbf {x} _{i}in K_{i}quad (iin 1ldots N)}} $sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:={mathbf {x} _{1}+mathbf {x} _{2}+ldots +mathbf {x} _{N}quad |quad mathbf {x} _{i}in K_{i}quad (iin 1ldots N)}$ .
- Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Линейные комбинации

Конечная сумма вида

α1×1+α2×2+…+αnxn{displaystyle alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}}

alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}

называется[3]линейной комбинацией элементов x1,x2,…,xn∈V{displaystyle mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},ldots ,mathbf {x} _{n}in V}

$mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},ldots ,mathbf {x} _{n}in V$ с коэффициентами α1,α2,…,αn∈F{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{n}in F} $alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{n}in F$ .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется:

нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1[4],
выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис. Размерность

Основная статья: Конечномерное пространство

Векторы x1,x2,…,xn{displaystyle mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},ldots ,mathbf {x} _{n}}

$mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},ldots ,mathbf {x} _{n}$ называются[5]линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

α1×1+α2×2+…+αnxn=0{displaystyle alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x
} _{n}=mathbf {0} }

{displaystyle alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}=mathbf {0} }

при некоторых коэффициентах α1,α2,…,αn∈F,{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{n}in F,}

${displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{n}in F,}$ причём хотя бы один из коэффициентов αi{displaystyle alpha _{i}} $alpha_i$ отличен от нуля.

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V{displaystyle V}

$V$ называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать[6], что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом dim{displaystyle {rm {dim}}}

${rm {dim}}$ .

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно, изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

Любые n{displaystyle n} $n$ линейно независимых элементов n{displaystyle n} $n$ -мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} $mathbf {x} in V$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

x=α1×1+α2×2+…+αnxn{displaystyle mathbf {x} =alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}}

mathbf {x} =alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}

Линейная оболочка

Запрос «Линейная оболочка»[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Линейная оболочка V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)}

${mathcal {V}}(X)$ подмножества X{displaystyle X} $X$ линейного пространства V{displaystyle V} $V$ — пересечение всех подпространств V{displaystyle V} $V$ , содержащих X{displaystyle X} $X$ .

Линейная оболочка является подпространством V{displaystyle V}

$V$ .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X{displaystyle X}

$X$ . Говорят также, что линейная оболочка V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} ${mathcal {V}}(X)$ — пространство, натянутое на множество X{displaystyle X} $X$ .

Линейная оболочка V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)}

${mathcal {V}}(X)$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X{displaystyle X} $X$ . В частности, если X{displaystyle X} $X$ — конечное множество, то V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} ${mathcal {V}}(X)$ состоит из всех линейных комбинаций элементов X{displaystyle X} $X$ . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если X{displaystyle X}

$X$ — линейно независимое множество, то оно является базисом V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} ${mathcal {V}}(X)$ и тем самым определяет его размерность.

Примеры

Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
Пространство всех функций X→F{displaystyle Xto F} $Xto F$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X{displaystyle X} $X$ .
Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
Любое поле является одномерным пространством над собой.
Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

Дополнительные структуры

См. также

Примечания

↑ Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и «скалярное произведе
ние».
↑ Ильин, Позняк, 2010, с. 45.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 8.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 198.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 16.
↑ Кострикин, Манин, 1986, с. 14.

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.

Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.