Быстро-медленная система

Рассмотрим семейство систем обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)}$ 

Если f и g гладко зависят от своих аргументов, а ${\displaystyle \varepsilon }$  — малый параметр, то говорят, что семейство, записанное таким образом, задает быстро-медленную систему. Переменная x называется быстрой переменной, y — медленной. Теория быстро-медленных систем изучает асимптотическое поведение систем такого вида при ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ .

Медленной кривой называется множество нулей функции f: ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\}}$ . При ${\displaystyle \varepsilon =0}$  система называется «быстрой»: переменная y является неподвижным параметром. Медленная кривая состоит из неподвижных точек быстрой системы и является таким образом её инвариантным многообразием. Для малых ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$  быстро-медленная система является малым возмущением быстрой: при этом вне любой фиксированной окрестности ${\displaystyle M}$  скорость изменения переменной ${\displaystyle x}$  сколь угодно сильно превосходит скорость изменения переменной ${\displaystyle y}$ . С геометрической точки зрения это означает, что вне окрестности медленной кривой траектории системы практически параллельны оси быстрого движения ${\displaystyle x}$ . (На иллюстрациях она традиционно изображается вертикальной, см. рисунок.)

Для малых ${\displaystyle \varepsilon }$  в малой окрестности участка медленной кривой, однозначно проектирующегося вдоль направления быстрого движения (то есть не имеющего складок и других особенностей проектирования) у системы сохраняется инвариантное многообразие, ${\displaystyle O(\varepsilon )}$ -близкое к медленной кривой ${\displaystyle M}$ . Это инвариантное многообразие называется истинной медленной кривой. Его существование можно вывести из теоремы Феничеля, или из теории центральных многообразий. Оно задается неединственным образом, но все такие инвариантные многообразия экспоненциально близки (то есть расстояние между ними оценивается как ${\displaystyle O(\exp 1/\varepsilon )}$ ).

Проекция векторного поля быстрой системы вдоль направления быстрого движения на медленную кривую называется медленным полем, а задаваемое этим полем уравнение, определенное на медленной кривой, называется медленным уравнением. Динамика возмущенной системы (при ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$ ) на истинной медленной кривой приближается медленным уравнением с точностью ${\displaystyle O(\varepsilon )}$ .

Для анализа быстро-медленных систем часто оказывается полезно рассмотреть так называемую смешанную систему. Будем считать, что на медленной кривой динамика задается медленным уравнением, а вне медленной кривой — быстрой системой. «Траектория» такой системы (так называемая «сингулярная траектория») представляет собой кусочно-гладкую кривую, состоящую из чередующихся дуг устойчивой части медленной кривой и быстрых срывов.

В быстро-медленных системах на плоскости (т.е. когда быстрая и медленная переменные одномерны), при выполнении некоторых условий невырожденности, сингулярные траектории смешанной системы позволяют «моделировать» поведение быстро-медленной системы при малых ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$ : «настоящая» траектория проходит в ${\displaystyle O(\varepsilon )}$ -окрестности от сингулярной. Её динамика состоит из чередующихся фаз медленного «дрейфа» вблизи устойчивых участков медленной кривой и быстрых «срывов» вдоль траекторий быстрого движения.

В ходе «медленного» движения траектория проходит фиксированное расстояние за время порядка ${\displaystyle O(1/\varepsilon )}$ , при этом экспоненциально притягиваясь к соответствующей истинной медленной кривой (и другим траекториям).

Рассмотрим следующую быстро-медленную систему, связанную с осциллятором Ван-дер-Поля:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=-y+x-x^{3};\\{\dot {y}}&=\varepsilon x.\end{cases}}}$ 

Её медленная кривая — кубическая парабола ${\displaystyle y=x-x^{3}}$ . (См. рис.) Рассматривая смешанную систему, легко построить так называемый «сингулярный цикл», проходящий через точки ${\displaystyle G_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ , ${\displaystyle G_{2}}$ , ${\displaystyle F_{1}}$ . Отметим, что цикл получается благодаря тому, что медленное поле направлено вправо в верхней части графика и влево в нижней; при этом на неустойчивой части медленной кривой медленная система имеет неподвижную точку.

При ${\displaystyle \varepsilon >0}$  вблизи этого сингулярного цикла у быстро-медленной системы появляется «настоящий» устойчивый предельный цикл. Действительно, истинная медленная кривая вблизи участка ${\displaystyle F_{1}G_{1}}$  продолжается в прямом времени за точку срыва ${\displaystyle G_{1}}$ , срывается вниз, достигает окрестности нижней части медленной кривой, далее двигается влево вблизи истинной медленной кривой, соответствующей участку ${\displaystyle F_{2}G_{2}}$ , претерпевает срыв вверх и снова попадает в окрестность дуги ${\displaystyle F_{1}G_{1}}$ . В связи с эффектом экспоненциального сближения траекторий при движении вблизи устойчивых участков медленной кривой (см. конец предыдущего раздела), отображение Пуанкаре с трансверсали ${\displaystyle J}$  на себя (см. рис.) является сжимающим отображением, а следовательно имеет неподвижную точку. Это и означает, что система имеет предельный цикл. Про такую систему также говорят, что она испытывает релаксационные колебания.

• В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций // Динамические системы—5. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — С. 5—218. — ISSN 0233-6723.

Шаблон:Нет интервики