Бордизм

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых n-мерных многообразия M и M' бордантны (ограничнвают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное n+1-мерное многообразие W (назывемое пленка), край которого состоит из двух многообразий M и M', (или точнее многообразий ${\displaystyle M_{0}}$  и ${\displaystyle M_{1}}$  диффеоморфных, соответственно, М и М' посредством некоторых диффеоморфизмов ${\displaystyle g_{0}:M\to M_{0}}$  и ${\displaystyle g_{1}:M'\to M_{1}}$ ). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку ${\displaystyle (W,M_{0},M_{1})}$  называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятерке ${\displaystyle (W,M_{0},M_{1},g_{0},g_{1})}$ ). Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву группу ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$  относительно несвязного объединения. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: М — ограничивающее многообразие, М — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$  обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (т. к. объединение двух копий M диффеоморфно границе прямого произведения ${\displaystyle M\times [0,1]}$ ). Прямая сумма ${\displaystyle \Omega _{*}^{O}}$  групп ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$  является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Ориентированные бордизмы

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия М и М' ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причем пленка W ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией W на ${\displaystyle M_{0}}$  и ${\displaystyle M_{1}}$  (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах ${\displaystyle g_{0}}$  и ${\displaystyle g_{1}}$ , соответственно, в исходную ориентацию М и в ориентацию, противоположную исходной ориентации М'. Аналогично ${\displaystyle \Omega _{n}^{O}}$ , и ${\displaystyle \Omega _{*}^{O}}$  вводятся группы ориентированных бордизмов ${\displaystyle \Omega _{n}^{SO}}$  и кольцо ${\displaystyle \Omega _{*}^{SO}}$ .

Другие варианты

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (назывемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, Spin-бордисмы. Имеются также варианты несколько иного рода (для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре) и т. д.. Особое положение занимают бордизмы слоений и h-бордизмы (ранее называемые J-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

• Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля—Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягпна — в ориентируемом).

Первый пример — бордизм оснащенных многообразий, введенный в 1938 Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер ${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})}$ , и таким путем смог найти ${\displaystyle \pi _{n+1}(S^{n})}$  и ${\displaystyle \pi _{n+2}(S^{n})}$ . Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951 — 53 Рохлиным, вычислившим ${\displaystyle \Omega _{n}^{SO}}$  для ${\displaystyle n\leq 4}$ . Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

• h-кобордизм