Бицентрическая система координат

Бицентрические координаты — система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниеми от двух фиксированных центров (полюсов). Бицентрические координаты не следует путать с биполярными координатами.

Бицентрические координаты переводятся в декартовы координаты следующими формулами^{Ошибка?: некорректно задана дата установки}:

${\displaystyle x=\pm {\frac {r^{2}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2r}}\operatorname {cos} (\alpha )\pm {\frac {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_{2}-r)(r_{2}-r_{1}-r)(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}\operatorname {sin} (\alpha )+x_{1}}$

${\displaystyle y=\pm {\frac {r^{2}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2r}}\operatorname {sin} (\alpha )\mp {\frac {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_{2}-r)(r_{2}-r_{1}-r)(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}\operatorname {cos} (\alpha )+y_{1}}$.

Где ${\displaystyle r}$ — расстояние между полюсами,

${\displaystyle r_{1}}$ — расстояние до первого полюса,

${\displaystyle r_{2}}$ — расстояние до второго полюса,

${\displaystyle (x_{1};y_{1})}$ — координаты первого полюса,

${\displaystyle (x_{2};y_{2})}$ — координаты второго полюса,

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {y2-y1}{x2-x1}}}$ — угол наклона прямой, проходящей через координаты ${\displaystyle (x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2})}$, относительно оси абсцисс.

Получаемые по данным формулам четыре пары координат, следует проверять на выполнение условия:

${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{1})^{2}-(y-y_{1})^{2}}}=r_{1}}$

и

${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{2})^{2}-(y-y_{2})^{2}}}=r_{2}}$

Только две пары координат из четырёх, будут удовлетворять этим условием.

Канонические формулы для перевода координат^[1]:

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}}$,

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})}}}$.

Следующие формулы переводят бицентрические координаты в полярные координаты:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}}$,

${\displaystyle \theta =\operatorname {arctg} \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}$,

где ${\displaystyle 2c}$ — расстояние между полюсами.