Биссектриса

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла[1].

Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Содержание

Связанные определения

  • Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.

  Центры трех вневписанных окружностей (соответственно JA,JB,JC{displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}} ) образуют — треугольник трёх внешних биссектрис

  • В любом треугольнике ABC{displaystyle ABC} , кроме внутренних биссектрисы или просто биссектрис, можно провести и внешние биссектри́сы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
  • Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектрис до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно JA,JB,JC{displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}} ) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами JA,JB,JC{displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}} , которые касаются соответственно сторон a,b,c{displaystyle a,b,c}  исходного треугольника.
  • Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
  • Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника ΔJAJBJC{displaystyle Delta J_{A}J_{B}J_{C}} 
  • Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей JA,JB,JC{displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}  , является центром эллипса МандАра. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel).[2][3]

Свойства

  Построение биссектрисы

Свойства точек пересечения биссектрис

  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами

  • Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
  • Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
  • Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства, связанные с дугами

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
  • В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
  • Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
  • У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
  • У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис

  BDCD=ABAC{displaystyle {frac {BD}{CD}}={frac {AB}{AC}}}  или BDAB=CDAC{displaystyle {frac {BD}{AB}}={frac {CD}{AC}}} .

  • Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть BDCD=ABAC{displaystyle {frac {BD}{CD}}={frac {AB}{AC}}}  или BDAB=CDAC{displaystyle {frac {BD}{AB}}={frac {CD}{AC}}} .
  • Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
  • Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
  • Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания 3 биссектрис .[4]
  • В общем случае не пересекаются в одной точке 3 перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через основания 3 внутренних его биссектрис, которые лежат на этих сторонах.

Свойства осей биссектрис

Другие свойства

Длина биссектрис в треугольнике

  Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

lc=ab(a+b+c)(a+b−c)a+b=2abp(p−c)a+b{displaystyle l_{c}={{sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} over {a+b}}={frac {2{sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}} , где p{displaystyle p}  — полупериметр.
lc=ab−albl{displaystyle l_{c}={sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}} 
lc=2abcos⁡γ2a+b{displaystyle l_{c}={frac {2abcos {frac {gamma }{2}}}{a+b}}} 
lc=2alblcos⁡γ2al2+bl2−2alblcos⁡(γ){displaystyle l_{c}={frac {2a_{l}b_{l}cos {frac {gamma }{2}}}{sqrt {a_{l}^{2}+b_{l}^{2}-2a_{l}b_{l}cos {(gamma })}}}}{displaystyle l_{c}={frac {2a_{l}b_{l}cos {frac {gamma }{2}}}{sqrt {a_{l}^{2}+b_{l}^{2}-2a_{l}b_{l}cos {(gamma })}}}} 
lc=hccos⁡α−β2{displaystyle l_{c}={frac {h_{c}}{cos {frac {alpha -beta }{2}}}}} 

Для трёх биссектрис углов A{displaystyle A}

 , B{displaystyle B}  и C{displaystyle C}  с длинами соответственно la,lb,{displaystyle l_{a},l_{b},}  и lc{displaystyle l_{c}} , справедлива формула[8]

(b+c)2bcla2+(c+a)2calb2+(a+b)2ablc2=(a+b+c)2.{displaystyle {frac {(b+c)^{2}}{bc}}l_{a}^{2}+{frac {(c+a)^{2}}{ca}}l_{b}^{2}+{frac {(a+b)^{2}}{ab}}l_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.} ,
wc2=aw⋅bw−ab=CE2=BE⋅AE−ab{displaystyle w_{c}^{2}=a_{w}cdot b_{w}-ab=CE^{2}=BEcdot AE-ab} ,
  • Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла A{displaystyle A}  в отношении b+ca{displaystyle {frac {b+c}{a}}} , где a{displaystyle a} , b{displaystyle b} , c{displaystyle c}  — стороны треугольника,

где:

  • a,b,c{displaystyle a,b,c}  — стороны треугольника против вершин A,B,C{displaystyle A,B,C}  соответственно,
  • α,β,γ{displaystyle alpha ,beta ,gamma }  — внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C{displaystyle A,B,C}  соответственно,
  • hc{displaystyle h_{c}}  — высота треугольника, опущенная на сторону c{displaystyle c} .
  • lc{displaystyle l_{c}}  — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне c{displaystyle c} ,
  • al,bl{displaystyle a_{l},b_{l}}  — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса lc{displaystyle l_{c}}  делит сторону c{displaystyle c} ,
  • wc{displaystyle w_{c}}  — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины C{displaystyle C}  к продолжению стороны AB{displaystyle AB} .
  • aw,bw{displaystyle a_{w},b_{w}}  — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса wc{displaystyle w_{c}}  делит сторону c=AB{displaystyle c=AB}  и её продолжение до основания самой биссектрисы.
  • Если медиана m{displaystyle m} , высота h{displaystyle h}  и внутренняя биссектриса t{displaystyle t}  выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R{displaystyle R} , тогда[9]:p.122,#96
4R2h2(t2−h2)=t4(m2−h2).{displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).} 

Длина частей биссектрис в треугольнике

  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно lc0=rsin⁡(γ2)=(p−c)2+r2=ab−4Rr{displaystyle l_{c0}={frac {r}{sin({frac {gamma }{2}})}}={sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}={sqrt {ab-4Rr}}} , где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
  • Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
  • Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
  • Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла A{displaystyle A}  в отношении b+ca{displaystyle {frac {b+c}{a}}} , где a{displaystyle a} , b{displaystyle b} , c{displaystyle c}  — стороны треугольника.

Уравнения биссектрис

  • Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями y1=a1x+b1{displaystyle y_{1}=a_{1}x+b_{1}}  и y2=a2x+b2{displaystyle y_{2}=a_{2}x+b_{2}} , то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций[10]:
y=a1a22+1±a2a12+1a22+1±a12+1x+b1a22+1±b2a12+1a22+1±a12+1{displaystyle y={frac {a_{1}{sqrt {a_{2}^{2}+1}}pm a_{2}{sqrt {a_{1}^{2}+1}}}{{sqrt {a_{2}^{2}+1}}pm {sqrt {a_{1}^{2}+1}}}},x+{frac {b_{1}{sqrt {a_{2}^{2}+1}}pm b_{2}{sqrt {a_{1}^{2}+1}}}{{sqrt {a_{2}^{2}+1}}pm {sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}} 

См. также

Примечания

  1. Иванов А. Б. Биссектриса угла // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — С. 496. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.
  2. Kimberling, Clark (1994), Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine Т. 67 (3): 163–187, DOI 10.2307/2690608 .
  3. v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig .
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
  5. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  6. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  7. Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
  8. Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
  9. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
  10. Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми. Задачи повышенной трудности  (рус.). Прикладная математика.

Литература

В родственных проектах

  • Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. — М.: Наука, 1965. — 56 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.