Биномиальный коэффициент

Вычисляя коэффициенты в разложении ${\displaystyle (1+x)^{n}}$  в степенной ряд, мы получим явные формулы для биномиальных коэффициентов ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$  .

Для всех действительных чисел n и целых чисел k:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}},&k\geqslant 0,\\0,&k<0,\end{cases}}}$ 

где ${\displaystyle k!}$  обозначает факториал числа k.

Для неотрицательных целых n и k также справедливы формулы:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n!}{k!(n-k)!}},&0\leqslant k\leqslant n.\\0,&k>n.\end{cases}}}$ 

Для целых отрицательных показателей степени коэффициенты разложения ${\displaystyle (1+x)^{-n}}$  равны

${\displaystyle {\binom {-n}{k}}={\begin{cases}(-1)^{k}\cdot {\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}},&k\geqslant 0.\\0,&k<0.\end{cases}}}$ 

Тождество

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$ 

позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных целых чисел n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:

${\displaystyle {\begin{matrix}n=0:&&&&&1&&&&\\n=1:&&&&1&&1&&&\\n=2:&&&1&&2&&1&&\\n=3:&&1&&3&&3&&1&\\n=4:&1&&4&&6&&4&&1\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\end{matrix}}}$ 

Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, О. Хайяму и др.).

Строки в треугольнике Паскаля, делённые на ${\displaystyle 2^{n}}$  (сумма всех чисел в строке), в пределе стремятся к функции нормального распределения.

Визуализация биномиального коэффициента до 4 степени [1]

Производящие функции

Для фиксированного значения n производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},\;{\tbinom {n}{1}},\;{\tbinom {n}{2}},\;\ldots }$  является:

${\displaystyle \sum _{k}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.}$ 

Для фиксированного значения k производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов ${\displaystyle {\tbinom {0}{k}},\;{\tbinom {1}{k}},\;{\tbinom {2}{k}},\;\ldots }$  является:

${\displaystyle \sum _{n}{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}.}$ 

Двумерной производящей функцией биномиальных коэффициентов ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  для целых ${\displaystyle n,\,k}$  является:

${\displaystyle \sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$ 

Делимость

Из теоремы Люка следует, что:

• ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$  нечётен ${\displaystyle \iff }$  в двоичной записи числа k единицы не стоят в тех разрядах, где в числе n стоят нули.
• ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$  некратен простому p ${\displaystyle \iff }$  в p-ичной записи числа k все разряды не превосходят соответствующих разрядов числа n.
• В последовательности биномиальных коэффициентов ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{0}},\;{\binom {n}{1}},\;\ldots ,\;{\binom {n}{n}}}$ :
  • все числа не кратны заданному простому p ${\displaystyle \iff }$  ${\displaystyle n=mp^{k}-1}$ , где натуральное число m < p;
  • все числа, кроме первого и последнего, кратны заданному простому p ${\displaystyle \iff }$  ${\displaystyle n=p^{k}}$ ;
  • количество нечётных чисел равно степени двойки (степень двойки равна количеству единиц в двоичной записи числа n);
  • не может быть поровну чётных и нечётных чисел;
  • количество не кратных простому p чисел равно ${\displaystyle (a_{1}+1)\cdots (a_{m}+1)}$ , где числа ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}}$  — разряды p-ичной записи числа n; а число ${\displaystyle \textstyle m=\lfloor \log _{p}{n}\rfloor +1}$  — её длина.

Основные тождества

• ${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}$ 
• ${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n+k-1}{k}}.}$ 
• ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$  (правило симметрии).
• ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n}{k}}{n-1 \choose k-1}}$  (вынесение за скобки).
• ${\displaystyle {n \choose m}{m \choose n-k}={n \choose k}{k \choose n-m}}$  (замена индексов).
• ${\displaystyle (n-k){n \choose k}=n{n-1 \choose k}}$ .

Бином Ньютона и следствия

• ${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose n}=2^{n},}$  где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i+j=m}{\binom {n}{j}}{\binom {n}{i}}(-1)^{j}={\begin{cases}(-1)^{m/2}{\binom {n}{m/2}}&{\text{if}}\ m\equiv 0{\pmod {2}},\\0&{\text{if}}\ m\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}$ 
• ${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}(-1)^{j}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k-1}}.}$ 
• ${\displaystyle {n \choose 0}-{n \choose 1}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}=0,}$  где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$  Это тождество можно усилить:
• ${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 2}+\ldots +{n \choose 2\lfloor n/2\rfloor }=2^{n-1},}$  где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ 
• ${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}$ 

или, в более общем виде,

${\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}\,,}$ 

Свёртка Вандермонда и следствия

• ${\displaystyle \sum _{k}{r \choose m+k}{s \choose n-k}={r+s \choose m+n}}$  (свёртка Вандермонда), где ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ,r,s\in \mathbb {R} .}$ 

Получается вычислением коэффициента при ${\displaystyle x^{m+n}}$  в тождестве ${\displaystyle (1+x)^{r}(1+x)^{s}=(1+x)^{r+s}}$ . Сумма берётся по всем целым ${\displaystyle k}$ , для которых слагаемое отлично от нуля. Для произвольных действительных ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle s}$  число ненулевых слагаемых в сумме будет конечно.

• ${\displaystyle {n \choose 0}{a \choose a}-{n \choose 1}{a+1 \choose a}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}{a+n \choose a}=(-1)^{n}{a \choose n}}$ .
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{p}(-1)^{i}{p \choose i}\prod _{m=1}^{n}{i+s_{m} \choose s_{m}}=0}$ , если ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}{s_{m}}<p}$ , — более общий вид тождества выше.
• ${\displaystyle {n \choose 0}^{2}+{n \choose 1}^{2}+\ldots +{n \choose n}^{2}={2n \choose n}.}$ 

Другие тождества

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{m \choose k}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}=H_{m}}$  — m-ое гармоническое число.
• Мультисекция ряда ${\displaystyle (1+x)^{n}}$  даёт тождество, выражающее сумму биномиальных коэффициентов с произвольным шагом s и смещением t ${\displaystyle (0\leqslant t<s)}$  в виде замкнутой суммы из s слагаемых:

${\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}.}$ 

Матричные соотношения

Если взять квадратную матрицу, отсчитав N элементов по катетам треугольника Паскаля и повернув матрицу на любой из четырёх углов, то детерминант этих четырёх матриц равен ±1 при любом N, причём детерминант матрицы с вершиной треугольника в верхнем левом углу равен 1.

В матрице ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}}$  числа на диагонали i + j = const повторяют числа строк треугольника Паскаля (i, j = 0,1,…). Её можно разложить в произведение двух строго диагональных матриц: нижнетреугольной и получаемой из неё транспонированием. А именно:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}=UU^{T},}$ 

где ${\displaystyle U={\begin{bmatrix}{\tbinom {i}{j}}\end{bmatrix}}}$ . Обратная матрица к U имеет вид:

${\displaystyle U^{-1}={\begin{bmatrix}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j}}\end{bmatrix}}.}$ 

Таким образом, можно разложить обратную матрицу к ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}}$  в произведение двух строго диагональных матриц: первая матрица — верхнетреугольная, а вторая получается из первой путём транспонирования, что позволяет дать явное выражение для обратных элементов:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{m,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{p}(-1)^{m+n}{\binom {k}{m}}{\binom {k}{n}}}$ , где i, j , m, n = 0..p.

Элементы обратной матрицы меняются при изменении её размера и, в отличие от матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}}$ , недостаточно приписать новую строку и столбец. Столбец j матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}}$  есть многочлен степени j по аргументу i, следовательно, первые p столбцов образуют полный базис в пространстве векторов длины p+1, чьи координаты могут быть интерполированы многочленом равной или меньшей степени p-1. Нижняя строка матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{m,n}^{-1}}$  ортогональна любому такому вектору.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{p,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {k}{p}}{\binom {k}{n}}=(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{P}_{a}(n)=0}$  при ${\displaystyle a<p}$ , где ${\displaystyle {P}_{a}(n)}$  многочлен степени a.

Если произвольный вектор длины ${\displaystyle p+1}$  можно интерполировать многочленом степени ${\displaystyle i<p}$ , то скалярное произведение со строками ${\displaystyle i+1,i+2,\dots ,p}$  (нумерация с 0) матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{m,n}^{-1}}$  равно нулю. Используя тождество выше и равенство единицы скалярного произведения нижней строки матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{m,n}^{-1}}$  на последний столбец матрицы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}}$ , получаем:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p}=p!.}$ 

Для показателя большего p можно задать рекуррентную формулу:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p+a}=p!{P}_{2a}(p)={f}_{a}(p),}$ 

где многочлен

${\displaystyle {P}_{2a+2}(p)=\sum _{x=1}^{p}x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad {P}_{0}(p)=1.}$ 

Для доказательства сперва доказывается тождество:

${\displaystyle {f}_{a}(p+1)=\sum _{x=0}^{a}{(p+1)}^{x+1}{f}_{a-x}(p).}$ 

Если требуется найти формулу не для всех показателей степени, то

${\displaystyle {P}_{2a}(p)={\frac {p}{{2}^{a}}}{\binom {p+a}{a}}{Q}_{a-1}(p);\quad a>0.}$ 

Старший коэффициент ${\displaystyle {Q}_{a-1}(p)}$  равен 1, потребуется a-1 значений, чтобы найти другие коэффициенты:

${\displaystyle {Q}_{a-1}(p)=p(p+1){T}_{a-3}(p)}$  для ${\displaystyle a\equiv 1{\pmod {2}};a\geqslant 3.}$ 

Асимптотика и оценки

• ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}.}$ 
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n}{k}}\leqslant {\frac {n}{(n/2-m)^{2}}}2^{n-3}}$  при ${\displaystyle m<{\frac {n}{2}}}$  (неравенство Чебышёва).
• ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{m}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{nH({\frac {m}{n}})}}$ , при ${\displaystyle m\leq {\frac {n}{2}}}$  (энтропийная оценка), где ${\displaystyle H(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x)}$  — энтропия.
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n/2-\lambda }{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{n}e^{-2\lambda ^{2}/n}}$  (неравенство Чернова).

Непосредственно из формулы Стирлинга следует, что для ${\displaystyle \alpha \in (0;1)}$  верно ${\displaystyle C_{n}^{\alpha n}\sim {\sqrt {\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n}}}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\alpha n}\left({\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{(1-\alpha )n}=\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{(1-\alpha )}}}+o(1)}\right)^{n}}$ .

Целозначные полиномы

Нетрудно видеть, что биномиальные коэффициенты ${\displaystyle {\tbinom {x}{0}}=1,{\tbinom {x}{1}}=x,{\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x}{2}},\dots }$  являются целозначными полиномами от ${\displaystyle x}$ , т.е. принимают целые значения при целых значениях ${\displaystyle x}$ . Более того, они образуют базис целозначных полиномов, в котором все целозначные полиномы выражаются как линейные комбинации с целыми коэффициентами.^[1]

В то же время стандартный базис ${\displaystyle 1,x,x^{2},\dots }$  не позволяет выразить все целочисленные полиномы, используя только целые коэффициенты, так как уже ${\displaystyle {\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x}{2}}}$  имеет дробные коэффициенты при степенях ${\displaystyle x}$ .

Этот результат обобщается на полиномы многих переменных. А именно, если полином ${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{m})}$  степени ${\displaystyle k}$  имеет вещественные коэффициенты и принимает целые значения при целых значениях переменных, то

${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{m})=P\left({\binom {x_{1}}{1}},\dots ,{\binom {x_{1}}{k}},\dots ,{\binom {x_{m}}{1}},\dots ,{\binom {x_{m}}{k}}\right),}$ 

где ${\displaystyle P}$  — полином с целыми коэффициентами.^[2]

Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}}$ , если на каждом шаге хранить значения ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  при ${\displaystyle k=0,\;1,\;\ldots ,\;n}$ . Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  при фиксированном ${\displaystyle n}$ . Алгоритм требует ${\displaystyle O(n)}$  памяти (${\displaystyle O(n^{2})}$  при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и ${\displaystyle O(n^{2})}$  времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).

При фиксированном значении k биномиальные коэффициенты могут быть вычислены по рекуррентной формуле ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n}{n-k}}\cdot {\tbinom {n-1}{k}}}$  с начальным значением ${\displaystyle {\tbinom {k}{k}}=1}$ . Для вычисления значения ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  этот метод требует ${\displaystyle O(1)}$  памяти и ${\displaystyle O(n)}$  времени.

Если требуется вычислить коэффициенты ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  при фиксированном значении ${\displaystyle n}$  можно воспользоваться формулой ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n-k+1}{k}}\cdot {\tbinom {n}{k-1}}}$  при начальном задании ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$ . При каждом шаге итерации числитель уменьшается на ${\displaystyle 1}$  (начальное значение ${\displaystyle n}$ ), а знаменатель соответственно увеличивается на ${\displaystyle 1}$  (начальное значение ${\displaystyle 1}$ ). Для вычисления значения ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  этот метод требует ${\displaystyle O(1)}$  памяти и ${\displaystyle O(k)}$  времени.

• Биномиальное распределение
• Бином Ньютона
• История комбинаторики
• Композиция (теория чисел)
• Разбиение числа
• Треугольник Паскаля
• Треугольное число
• Теорема Люка

• Биномиальные коэффициенты // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17—25.
• Кузьмин О. В. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109.
• Ландо С. К. Теневое исчисление // VIII летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
• Винберг Э. Б. Удивительные арифметические свойства биномиальных коэффициентов // Математическое просвещение. — 2008. — Вып. 12. — С. 33–42.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Математические основы информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — 2-е. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний; «Вильямс», 1998 — 2009. — 703, 784 с. — ISBN 95-94774-560-7, 78-5-8459-1588-7.