Бинарная операция

Пусть ${\displaystyle A,\;B,\;C}$  — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре ${\displaystyle A,\;B}$  со значениями в ${\displaystyle C}$  называется отображение ${\displaystyle P\to C}$ , где ${\displaystyle P\subset A\times B}$ 

Если ${\displaystyle A=B=C}$ , то действие называется внутренним, если ${\displaystyle A=C}$  или ${\displaystyle B=C}$  — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции ${\displaystyle \circ }$  результат её применения к двум элементам ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  записывается в виде ${\displaystyle x\circ y}$ .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

• префиксная (польская запись) — ${\displaystyle \circ \,x\;y}$ ;
• постфиксная (обратная польская запись) — ${\displaystyle x\;y\,\circ }$ .

Коммутативная операция

Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$  называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

${\displaystyle x\circ y=y\circ x,\quad \forall x,\;y\in M.}$ 

Ассоциативная операция

Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$  называется ассоциативной, если

${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\quad \forall x,\;y,\;z\in M.}$ 

Для ассоциативной операции ${\displaystyle \circ }$  результат вычисления ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$  не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$  при ${\displaystyle n>2}$  однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция ${\displaystyle \circ }$  называется альтернати́вной если

${\displaystyle (x\circ x)\circ y=x\circ (x\circ y)}$  и ${\displaystyle y\circ (x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad \forall x,\;y\in M}$ .

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на ${\displaystyle M}$  называют умноже́нием, то её результат для элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$  называют их произведе́нием и обозначают ${\displaystyle x\cdot y}$  или ${\displaystyle xy}$ . В этом случае нейтральный элемент ${\displaystyle e\in M}$ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M,}$ 

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов ${\displaystyle x,\;y\in M}$  называют су́ммой и обозначают ${\displaystyle x+y}$ . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

${\displaystyle x+0=0+x=x,\quad \forall x\in M.}$ 

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

• арность
• унарная операция
• тернарная операция

• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.