Билинейная форма

Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля и ).

Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:

,
,
,
,

здесь и

Связанные определения

  • Билинейная форма (функционал)   называется симметричной, если для любых   выполнено  ,
  • билинейная форма (функционал)   называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых

  выполнено  


Свойства

  • Множество всех билинейных форм  , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе   в   любая билинейная форма   однозначно определяется матрицей
 

так что для любых векторов   и  

 

то есть

 

Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

Таким образом, размерность пространства   есть  .

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе   выражаются через координаты в новом   через матрицу    , или в матричной записи  , то билинейная форма   на любых векторах   и   запишется, как

 ,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

 ,

или, в матричной записи:

 ,
 , где   — матрица прямого преобразования координат  .

См. также