Билинейная форма (функционал) называется симметричной, если для любых выполнено ,
билинейная форма (функционал) называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых
выполнено
Свойства
Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
При выбранном базисе в любая билинейная форма однозначно определяется матрицей
так что для любых векторов и
то есть
Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
Таким образом, размерность пространства есть .
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису
Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.
Иными словами, если координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты в новом через матрицу , или в матричной записи , то билинейная форма на любых векторах и запишется, как
,
то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:
,
или, в матричной записи:
,
, где — матрица прямого преобразования координат .