Билинейная форма

• Билинейная форма (функционал) ${\displaystyle ~S}$  называется симметричной, если для любых ${\displaystyle x,y\in L}$  выполнено ${\displaystyle ~S(x,y)=S(y,x)}$ ,
• билинейная форма (функционал) ${\displaystyle ~A}$  называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых

${\displaystyle x,y\in L}$  выполнено ${\displaystyle ~A(x,y)=-A(y,x)}$ 

• Множество всех билинейных форм ${\displaystyle W(L,L)}$ , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$  в ${\displaystyle L}$  любая билинейная форма ${\displaystyle ~F}$  однозначно определяется матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&\ldots &F(e_{1},e_{n})\\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&\ldots &F(e_{2},e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&\ldots &F(e_{n},e_{n})\end{pmatrix}},}$ 

так что для любых векторов ${\displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}}$  и ${\displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}}$ 

${\displaystyle F(x,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&\ldots &F(e_{1},e_{n})\\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&\ldots &F(e_{2},e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&\ldots &F(e_{n},e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},}$ 

то есть

${\displaystyle ~F(x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}x^{i}F_{ij}\,y^{j}.}$ 

Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

Таким образом, размерность пространства ${\displaystyle \,W(L,L)}$  есть ${\displaystyle \,\dim W(L,L)=(\dim L)^{2}}$ .

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе ${\displaystyle ~X^{i}}$  выражаются через координаты в новом ${\displaystyle ~x^{i}}$  через матрицу ${\displaystyle ~\beta }$  ${\displaystyle ~X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}}$ , или в матричной записи ${\displaystyle ~X=\beta x}$ , то билинейная форма ${\displaystyle ~F}$  на любых векторах ${\displaystyle ~x}$  и ${\displaystyle ~y}$  запишется, как

${\displaystyle F(x,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}}$ ,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

${\displaystyle f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}}$ ,

или, в матричной записи:

${\displaystyle ~f=\beta ^{T}F\beta }$ ,

${\displaystyle ~\beta =\alpha ^{-1}}$ , где ${\displaystyle ~\alpha }$  — матрица прямого преобразования координат ${\displaystyle ~x=\alpha X}$ .

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование