Билинейная форма

Разделы:

Пусть L{displaystyle ,L} $,L$ есть векторное пространство над полем K{displaystyle ,K} $,K$ (чаще всего рассматриваются поля K=R{displaystyle K=mathbb {R} } $K={mathbb R}$ и K=C{displaystyle K=mathbb {C} } $K={mathbb C}$ ).

Билинейной формой называется функция F:L×L→K{displaystyle Fcolon Ltimes Lto K} $Fcolon Ltimes Lto K$ , линейная по каждому из аргументов:

F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y){displaystyle ~F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y)}

{displaystyle ~F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y)}

F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z){displaystyle ~F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)}

~F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)

F(λx,y)=λF(x,y){displaystyle ~F(lambda x,y)=lambda F(x,y)}

~F(lambda x,y)=lambda F(x,y)

F(x,λy)=λF(x,y){displaystyle ~F(x,lambda y)=lambda F(x,y)}

~F(x,lambda y)=lambda F(x,y)

здесь x,y,z∈L{displaystyle x,y,zin L} $x,y,zin L$ и λ∈K.{displaystyle lambda in K.} $lambda in K.$

Содержание

1 Связанные определения
2 Свойства
3 Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису
4 См. также

Связанные определения

Билинейная форма (функционал) S{displaystyle ~S} $~S$ называется симметричной, если для любых x,y∈L{displaystyle x,yin L} $x,yin L$ выполнено S(x,y)=S(y,x){displaystyle ~S(x,y)=S(y,x)} ${displaystyle ~S(x,y)=S(y,x)}$ ,
билинейная форма (функционал) A{displaystyle ~A} $~A$ называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых

x,y∈L{displaystyle x,yin L}

$x,yin L$ выполнено A(x,y)=−A(y,x){displaystyle ~A(x,y)=-A(y,x)} ${displaystyle ~A(x,y)=-A(y,x)}$

Свойства

Множество всех билинейных форм W(L,L){displaystyle W(L,L)} $W(L,L)$ , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
При выбранном базисе e1,…,en{displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}} $e_{1},ldots ,e_{n}$ в L{displaystyle L} $L$ любая билинейная форма F{displaystyle ~F} $~F$ однозначно определяется матрицей

(F(e1,e1)F(e1,e2)…F(e1,en)F(e2,e1)F(e2,e2)…F(e2,en)⋮⋮⋱⋮F(en,e1)F(en,e2)…F(en,en)),{displaystyle {begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&ldots &F(e_{1},e_{n})\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&ldots &F(e_{2},e_{n})\vdots &vdots &ddots &vdots \F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&ldots &F(e_{n},e_{n})end{pmatrix}},}

{begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&ldots &F(e_{1},e_{n})\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&ldots &F(e_{2},e_{n})\vdots &vdots &ddots &vdots \F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&ldots &F(e_{n},e_{n})end{pmatrix}},

так что для любых векторов x=x1e1+x2e2+⋯+xnen{displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+cdots +x^{n}e_{n}}

$x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+cdots +x^{n}e_{n}$ и y=y1e1+y2e2+⋯+ynen{displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+cdots +y^{n}e_{n}} $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+cdots +y^{n}e_{n}$

F(x,y)=(x1x2…xn)(F(e1,e1)F(e1,e2)…F(e1,en)F(e2,e1)F(e2,e2)…F(e2,en)⋮⋮⋱⋮F(en,e1)F(en,e2)…F(en,en))(y1y2⋮yn),{displaystyle F(x,y)={begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&ldots &x^{n}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&ldots &F(e_{1},e_{n})\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&ldots &F(e_{2},e_{n})\vdots &vdots &ddots &vdots \F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&ldots &F(e_{n},e_{n})end{pmatrix}}{begin{pmatrix}y^{1}\y^{2}\vdots \y^{n}end{pmatrix}},}

F(x,y)={begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&ldots &x^{n}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&ldots &F(e_{1},e_{n})\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&ldots &F(e_{2},e_{n})\vdots &vdots &ddots &vdots \F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&ldots &F(e_{n},e_{n})end{pmatrix}}{begin{pmatrix}y^{1}\y^{2}\vdots \y^{n}end{pmatrix}},

то есть

F(x,y)=∑i,j=1nxiFijyj.{displaystyle ~F(x,y)=sum _{i,j=1}^{n}x^{i}F_{ij},y^{j}.}

{displaystyle ~F(x,y)=sum _{i,j=1}^{n}x^{i}F_{ij},y^{j}.}

Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

Таким образом, размерность пространства W(L,L){displaystyle ,W(L,L)}

$,W(L,L)$ есть dim⁡W(L,L)=(dim⁡L)2{displaystyle ,dim W(L,L)=(dim L)^{2}} $,dim W(L,L)=(dim L)^{2}$ .

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе
Xi{displaystyle ~X^{i}}

$~X^{i}$ выражаются через координаты в новом xi{displaystyle ~x^{i}} $~x^{i}$ через матрицу β{displaystyle ~beta } $~beta$ Xi=∑βjixj{displaystyle ~X^{i}=sum beta _{j}^{i}x^{j}} $~X^{i}=sum beta _{j}^{i}x^{j}$ , или в матричной записи X=βx{displaystyle ~X=beta x} $~X=beta x$ , то билинейная форма F{displaystyle ~F} $~F$ на любых векторах x{displaystyle ~x} $~x$ и y{displaystyle ~y} $~y$ запишется, как