Биекция

Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$  называется биекцией (и обозначается ${\displaystyle f:X\leftrightarrow Y}$ ), если она:

1. Переводит разные элементы множества ${\displaystyle X}$  в разные элементы множества ${\displaystyle Y}$  (инъективность). Иными словами,
   • ${\displaystyle \forall x_{1}\in X,\;\forall x_{2}\in Y\;(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})}$ .
2. Любой элемент из ${\displaystyle Y}$  имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
   • ${\displaystyle \forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y}$ .

• Тождественное отображение ${\displaystyle \mathrm {id} :\ X\to X}$  на множестве ${\displaystyle X}$  биективно.
• ${\displaystyle f(x)=x,\;f(x)=x^{3}}$  — биективные функции из ${\displaystyle \mathbb {R} }$  в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из ${\displaystyle \mathbb {R} }$  в себя.
• ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$  — биективная функция из ${\displaystyle \mathbb {R} }$  в ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=(0,\;+\infty )}$ .
• ${\displaystyle f(x)=\sin x}$  не является биективной функцией, если считать её определённой на всём ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

• Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$  является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$  такая, что

${\displaystyle \forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x}$  и ${\displaystyle \forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.}$ 

• Если функции ${\displaystyle f}$  и ${\displaystyle g}$  биективны, то и композиция функций ${\displaystyle g\circ f}$  биективна, в этом случае ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$ . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если ${\displaystyle g\circ f}$  биективна, то мы можем утверждать лишь, что ${\displaystyle f}$  инъективна, а ${\displaystyle g}$  сюръективна.

В информатике

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

• Изоморфизм
• Синоним
• Подобие
• Аналогичность

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.