Биекция

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Биективная функция.

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекция), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (элементов этого множества).

Определение

Функция   называется биекцией (и обозначается  ), если она:

  1. Переводит разные элементы множества   в разные элементы множества   (инъективность). Иными словами,
    •  .
  2. Любой элемент из   имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
    •  .


Примеры

  • Тождественное отображение   на множестве   биективно.
  •   — биективные функции из   в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из   в себя.
  •   — биективная функция из   в  .
  •   не является биективной функцией, если считать её определённой на всём  .

Свойства

 
Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.
  • Функция   является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция   такая, что
  и  
  • Если функции   и   биективны, то и композиция функций   биективна, в этом случае  . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если   биективна, то мы можем утверждать лишь, что   инъективна, а   сюръективна.

Применения

В информатике

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

Примечания

См. также


Литература

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. . Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.