Бесконечное множество — множество, которое состоит из бесконечного числа элементов.
Бесконечные множества бывают счётными и несчётными.
Кардинальные числа или трансфинитные числа бесконечных множеств обозначаются первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется "алеф" (): , где индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.
Кардинальное число счетного множества - .
Кантор доказал, что кардинальное число больше, чем , то есть между множествами с кардинальными числами и невозможно установить взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, лестница алефов продолжается вверх нескончаемо.
И в то же время Гильберт выдвинул так называемую континуум гипотезу или первую проблему Гильберта, которая гласит: С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счетное множество и континуум.
В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело-Френкеля (ZF) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве еще одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.
Канторовская теория множеств считает, что мощность множества действительных чисел или континуума c равна . Неканторовская теория множеств считает, что между c и заключено бесконечно много трансфинитных чисел.
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=2