Барицентрические координаты

Барицентрические координаты — координаты точки ${\displaystyle n}$-мерного аффинного пространства ${\displaystyle A^{n}}$, отнесенные к некоторой фиксированной системе из ${\displaystyle (n+1)}$-ой точки ${\displaystyle p_{0},\;p_{1},\;\ldots ,\;p_{n}}$, не лежащих в ${\displaystyle (n-1)}$-мерном подпространстве.

Пусть ${\displaystyle z}$ есть произвольная точка в ${\displaystyle A^{n}}$. Каждая точка ${\displaystyle x\in A^{n}}$ может быть единственным образом представлена в виде суммы

${\displaystyle x=z+\alpha _{1}\cdot {\vec {zp}}_{1}+\alpha _{2}\cdot {\vec {zp}}_{2}+\ldots +\alpha _{n}\cdot {\vec {zp}}_{n},}$

где ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{n}}$ — вещественные числа, удовлетворяющие условию

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}=1.}$

Числа ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{n}}$ называются барицентрическими координатами точки ${\displaystyle x}$. Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора ${\displaystyle z}$.

Точка ${\displaystyle x}$, является центром тяжести масс ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{n}}$, расположенных в точках ${\displaystyle p_{1},\;p_{2},\;\ldots ,\;p_{n}}$.