Аффинное пространство

Аффинное пространство над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$  — множество ${\displaystyle A}$  со свободным транзитивным действием аддитивной группы векторного пространства ${\displaystyle V}$  над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$  (если поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$  явно не указано, то подразумевается, что это — поле действительных чисел).

Данное определение означает^[1], что определена операция сложения элементов пространства ${\displaystyle A}$  (называемых точками аффинного пространства) с векторами из пространства ${\displaystyle V}$  (которое называют пространством свободных векторов для аффинного пространства ${\displaystyle A}$ ), удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. ${\displaystyle (M+v)+w=M+(v+w)}$  для всех   ${\displaystyle M\in A}$  и всех ${\displaystyle v,w\in V}$ ;
2. ${\displaystyle M+0=M}$  для всех ${\displaystyle M\in A}$ ;
3. для любых двух точек ${\displaystyle M,N\in A}$  существует единственный вектор ${\displaystyle v\in V}$  (обозначаемый ${\displaystyle {\overrightarrow {MN}}}$ ) со свойством ${\displaystyle N=M+v}$ .

Таким образом, образ действия ${\displaystyle v\in V}$  на ${\displaystyle M\in A}$  обозначается ${\displaystyle M+v}$ .

Применяя обозначения барицентрического исчисления, можно^[2] вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {MN}}}$  обозначать так: ${\displaystyle N-M}$ .

Таким образом, точки аффинного пространства можно вычитать друг из друга, получая векторы пространства свободных векторов. А вот результат сложения точки с точкой непосредственного смысла (то есть интерпретации в виде точки или вектора) не имеет.

В общем случае возможно рассматривать^[3] произвольные линейные комбинации точек аффинного пространства. Однако результат обретает смысл в следующих двух случаях:

• комбинация — барицентрическая (то есть сумма её коэффициентов равна 1), и тогда она будет точкой из ${\displaystyle A}$ ;
• комбинация — сбалансированная (то есть сумма её коэффициентов равна 0), и тогда она будет вектором из ${\displaystyle V}$ .

Данный вывод следует из того, что формальная сумма:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}P_{i}}}$ 

для барицентрической комбинации точек может быть определена как выражение:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}P_{i}}=P+\sum _{i=1}^{n}{a_{i}(P_{i}-P)}}$ 

(при этом выражение в правой части равенства фактически от выбора точки ${\displaystyle P\in A}$  не зависит), а для сбалансированной комбинации — как выражение:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}P_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}(P_{i}-P)}}$ .

Примером барицентрической комбинации точек служит понятие их барицентра. Именно, барицентр ${\displaystyle n}$  точек ${\displaystyle P_{i}}$  — это точка:

${\displaystyle P=\sum _{i=1}^{n}{{\frac {1}{n}}P_{i}}}$ 

(для двух точек ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$  получается середина соединяющего их отрезка, для трёх точек ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$  — точка пересечения медиан треугольника, вершинами которого служат эти точки).

Примером сбалансированной комбинации точек служит вектор   ${\displaystyle N-M}$   (здесь коэффициенты комбинации равны 1 и −1, так что сумма коэффициентов равна 0).

Выкладки над барицентрическими комбинациями точек во многом схожи с выкладками над линейными комбинациями векторов; например, можно отбрасывать слагаемые с нулевыми коэффициентами. При таких выкладках полезно иметь в виду следующее общее свойство барицентрических комбинаций: если образовать из нескольких барицентрических комбинаций точек новую барицентрическую комбинацию, то полученная (после приведения подобных членов) комбинация исходных точек вновь будет барицентрической^[4].

По аналогии с понятием линейной независимости векторов вводят понятие аффинной независимости точек аффинного пространства. Именно: точки ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$  называют^[5] аффинно зависимыми, если какую-либо из них, скажем, ${\displaystyle P_{0}}$ , можно представить в виде барицентрической комбинации остальных точек. В противном случае эти точки называются аффинно независимыми.

Размерность аффинного пространства равна^[6] по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов. При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.

Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как точечный базис (перенумеровав данные точки тем или иным способом). Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют^[4] барицентрическими координатами рассматриваемой точки.

• Аналогичным образом определяется аффинное пространство над телом.

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. 304 с.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1998. 320 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. М.: Физматлит, 2009. 511 с.
• Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. 446 с.