Аффи́нное преобразование (от лат.affinis — соприкасающийся, близкий, смежный) — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся в пересекающиеся, скрещивающиеся в скрещивающиеся[1].
красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании , если новые координаты отобразить в прежнем базисе
При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
Если размерность пространства [источник не указан 3852 дня], то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.
Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[2]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[3].
Вариации и обобщения
В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел.
Аффинные преобразования пространства являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства можно представить как аффинные преобразования пространства .