wiki

Аффинное преобразование

Разделы:

Аффи́нное преобразование (от лат. affinis — соприкасающийся, близкий, смежный) — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся в пересекающиеся, скрещивающиеся в скрещивающиеся[1].

красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании (x,y)↦(y−100,2⋅x+y−100){displaystyle (x,y)mapsto (y-100,2cdot x+y-100)} $(x,y)mapsto (y-100,2cdot x+y-100)$ , если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Table of Contents

Определение

Аффи́нное преобразование f:Rn→Rn{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}

$f:{mathbb {R}}^{{n}}to {mathbb {R}}^{{n}}$ есть преобразование вида

f(x)=M⋅x+v,{displaystyle f(x)=Mcdot x+v,}

f(x)=Mcdot x+v,

где M{displaystyle ~M}

$~M$ — обратимая матрица (неособенный аффинор) и v∈Rn{displaystyle vin mathbb {R} ^{n}} $vin {mathbb {R}}^{{n}}$ .

Комментарий

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат v{displaystyle ~v} $~v$ ;
Каждой точке x{displaystyle x} $x$ пространства поставить в соответствие точку f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x{displaystyle x} $x$ в «старой».

Примеры

Аффинными преобразованиями являются

Свойства

При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
- Если размерность пространства n≥2{displaystyle {n}geq 2} ${n}geq 2$ [источник не указан 3852 дня], то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование f(x)=M⋅x+v{displaystyle f(x)=Mcdot x+v}

$f(x)=Mcdot x+v$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

(f(x)1)=(Mv01)(x1){displaystyle {begin{pmatrix}f(x)\1end{pmatrix}}={begin{pmatrix}M&v\0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x\1end{pmatrix}}}

${begin{pmatrix}f(x)\1end{pmatrix}}={begin{pmatrix}M&v\0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x\1end{pmatrix}}$

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL [2]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована [3].

Вариации и обобщения

В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ .
Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
Аффинные преобразования пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} ${mathbb {R}}^{{n}}$ являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} ${mathbb {R}}^{{n}}$ можно представить как аффинные преобразования пространства Rn+1{displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} $mathbb {R} ^{n+1}$ .

См. также

Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

Примечания

↑ Аффинное Преобразование
↑ OpenGL Transformation (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.
↑ Transforms (Direct3D 9) (англ.). Дата обращения: 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.

Ссылки

Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление

Имеется викиучебник по теме «Аффинные преобразования»