Аффинное преобразование

Аффи́нное преобразование ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  есть преобразование вида

${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v,}$ 

где ${\displaystyle ~M}$  — обратимая матрица (неособенный аффинор) и ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

Комментарий

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ${\displaystyle ~v}$ ;
2. Каждой точке ${\displaystyle x}$  пространства поставить в соответствие точку ${\displaystyle f(x)}$ , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и ${\displaystyle x}$  в «старой».

Аффинными преобразованиями являются

• движения;
• преобразования подобия.

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства ${\displaystyle {n}\geq 2}$ ^{[источник не указан 3852 дня]}, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование ${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v}$  можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}}$ 

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL^[2]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована^[3].

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  можно представить как аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ .

• Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление