Атлас (топология)

Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.

Определения

Пусть   — числовое поле (например   или  ),  топологическое пространство.

  • Карта — это пара  , где
 открытое множество в  
 гомеоморфизм из   в открытое множество в  
  • Если области определения двух карт   и   пересекаются ( ), то между множествами   и   имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями замены координат:
     
  • Две карты   и   называются согласованными, если функции замены координат   и   являются

гладкими или аналитическими (в зависимости от контекста).

  • Атлас — это множество согласованных карт  ,  , такое, что   образует покрытие пространства  . Здесь   — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса  ) или аналитическим, если функции замены координат для всех карт гладкие (класса  ) или аналитические.
  • Чаще всего используются так называемые счётные атласы, в которых множество   счётно, т.е. можно положить  .

Связанные определения

  • Два атласа называются согласованными, если их объединение также является атласом.