Атлас (топология)

Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.

Содержание

Определения

Пусть K{displaystyle K}

$K$ — числовое поле (например R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ или C{displaystyle mathbb {C} } $mathbb {C}$ ),X{displaystyle X} $X$ — топологическое пространство.

U{displaystyle U}

U

X

f{displaystyle f}

f

— гомеоморфизм из U{displaystyle U}

U

K^n

Если области определения двух карт (U1,f1){displaystyle ,(U_{1},f_{1})} ${displaystyle ,(U_{1},f_{1})}$ и (U2,f2){displaystyle ,(U_{2},f_{2})} ${displaystyle ,(U_{2},f_{2})}$ пересекаются (U1∩U2≠∅{displaystyle U_{1}cap U_{2}neq emptyset } ${displaystyle U_{1}cap U_{2}neq emptyset }$ ), то между множествами f1−1(U2){displaystyle f_{1}^{-1}(U_{2})} ${displaystyle f_{1}^{-1}(U_{2})}$ и f2−1(U1){displaystyle f_{2}^{-1}(U_{1})} ${displaystyle f_{2}^{-1}(U_{1})}$ имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями замены координат:

f12=f1∘f2−1|f2(U1∩U2): f2(U1∩U2)→f1(U1∩U2)f21=f2∘f1−1|f1(U1∩U2): f1(U1∩U2)→f2(U1∩U2){displaystyle {begin{matrix}f_{12}=f_{1}circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{2}(U_{1}cap U_{2})to f_{1}(U_{1}cap U_{2})\f_{21}=f_{2}circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{1}(U_{1}cap U_{2})to f_{2}(U_{1}cap U_{2})end{matrix}}} ${displaystyle {begin{matrix}f_{12}=f_{1}circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{2}(U_{1}cap U_{2})to f_{1}(U_{1}cap U_{2})\f_{21}=f_{2}circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{1}(U_{1}cap U_{2})to f_{2}(U_{1}cap U_{2})end{matrix}}}$

Две карты (U1,f1){displaystyle ,(U_{1},f_{1})} и (U2,f2){displaystyle ,(U_{2},f_{2})} ${displaystyle ,(U_{2},f_{2})}$ называются согласованными, если функции замены координат f12{displaystyle ,f_{12}} ${displaystyle ,f_{12}}$ и f21{displaystyle ,f_{21}} ${displaystyle ,f_{21}}$ являются

гладкими или аналитическими (в зависимости от контекста).

Атлас — это множество согласованных карт {(Uα,fα)}{displaystyle ,{(U_{alpha },f_{alpha })}} ${displaystyle ,{(U_{alpha },f_{alpha })}}$ , α∈A{displaystyle alpha in {mathcal {A}}} ${displaystyle alpha in {mathcal {A}}}$ , такое, что {Uα}{displaystyle ,{U_{alpha }}} ${displaystyle ,{U_{alpha }}}$ образует покрытие пространства X{displaystyle X} $X$ . Здесь A{displaystyle {mathcal {A}}} ${mathcal {A}}$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса Ck{displaystyle ,C^{k}} ${displaystyle ,C^{k}}$ ) или аналитическим, если функции замены координат для всех карт гладкие (класса Ck{displaystyle ,C^{k}} ${displaystyle ,C^{k}}$ ) или аналитические.

Чаще всего используются так называемые счётные атласы, в которых множество A{displaystyle {mathcal {A}}} ${mathcal {A}}$ счётно, т.е. можно положить A=N{displaystyle {mathcal {A}}=mathbb {N} } ${displaystyle {mathcal {A}}=mathbb {N} }$ .

Два атласа называются согласованными, если их объединение также является атласом.