Атлас (топология)

Пусть ${\displaystyle K}$  — числовое поле (например ${\displaystyle \mathbb {R} }$  или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), ${\displaystyle X}$  — топологическое пространство.

• Карта — это пара ${\displaystyle (U,f)}$ , где

${\displaystyle U}$  — открытое множество в ${\displaystyle X}$ 

${\displaystyle f}$  — гомеоморфизм из ${\displaystyle U}$  в открытое множество в ${\displaystyle K^{n}}$ 

• Если области определения двух карт ${\displaystyle \,(U_{1},f_{1})}$  и ${\displaystyle \,(U_{2},f_{2})}$  пересекаются (${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ), то между множествами ${\displaystyle f_{1}^{-1}(U_{2})}$  и ${\displaystyle f_{2}^{-1}(U_{1})}$  имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями замены координат:

  ${\displaystyle {\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}}$ 

• Две карты ${\displaystyle \,(U_{1},f_{1})}$  и ${\displaystyle \,(U_{2},f_{2})}$  называются согласованными, если функции замены координат ${\displaystyle \,f_{12}}$  и ${\displaystyle \,f_{21}}$  являются

гладкими или аналитическими (в зависимости от контекста).

• Атлас — это множество согласованных карт ${\displaystyle \,\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}}$ , ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ , такое, что ${\displaystyle \,\{U_{\alpha }\}}$  образует покрытие пространства ${\displaystyle X}$ . Здесь ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса ${\displaystyle \,C^{k}}$ ) или аналитическим, если функции замены координат для всех карт гладкие (класса ${\displaystyle \,C^{k}}$ ) или аналитические.

• Чаще всего используются так называемые счётные атласы, в которых множество ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  счётно, т.е. можно положить ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbb {N} }$ .

• Два атласа называются согласованными, если их объединение также является атласом.