Анализ функций многих переменных

Пределы и непрерывность

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$ 

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы y = x², предел = 0.5. С тех пор как разные пути к одной и той же точке дают различные значения предела, предела не существует.

Функция ${\displaystyle ~f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  имеет пределом число A при стремлении переменных ${\displaystyle ~x_{1},\ldots ,x_{n}}$ , соответственно, к ${\displaystyle ~a_{1},\ldots ,a_{n}}$ , если для каждого число ${\displaystyle ~\varepsilon >0}$  найдется такое числа ${\displaystyle ~\delta >0}$ , что ${\displaystyle ~|f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon }$ , то есть ${\displaystyle ~|x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta }$ .

Функция ${\displaystyle ~u=f(M)}$  называется непрерывной в точке ${\displaystyle A}$ , если предельное значение этой функции в точке ${\displaystyle A}$  существует и равно частному значению ${\displaystyle ~f(A)}$ .

Функция ${\displaystyle ~u=f(M)}$  называется непрерывной на множестве ${\displaystyle {M}}$ , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной

Частная производная обобщает понятие производной в более высоких измерениях. Частная производная многомерной функции – это производная относительно одной переменной, все другие переменные считаются константами.

Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой области ${\displaystyle D}$  имеем функцию ${\displaystyle ~u=f(x,y,z)}$ ; возьмем точку ${\displaystyle ~M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$  в этой области. Если мы припишем ${\displaystyle y}$  и ${\displaystyle z}$  постоянные значения ${\displaystyle y_{0}}$  и ${\displaystyle z_{0}}$  и будем менять ${\displaystyle x}$ , то ${\displaystyle u}$  будет функцией от одной переменной ${\displaystyle x}$  (в окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ ); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке ${\displaystyle ~x=x_{0}}$ . Придадим этому значению ${\displaystyle x_{0}}$  приращение ${\displaystyle \Delta x}$ , тогда функция получит приращение ${\displaystyle ~\Delta _{x}u=\Delta _{x}f(x_{0},y_{0},z_{0})=f(x_{0}+\Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}$ , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по ${\displaystyle x}$ ), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел ${\displaystyle ~\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta _{x}u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x,y_{0},z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta x}}}$ . Эта производная называется частной производной функции ${\displaystyle ~f(x,y,z)}$  по ${\displaystyle x}$  в точке ${\displaystyle ~(x_{0},y_{0},z_{0})}$ .

Аналогично определяются и частные производные функции ${\displaystyle ~f(x,y,z)}$  по ${\displaystyle y}$  и ${\displaystyle z}$  в точке ${\displaystyle ~(x_{0},y_{0},z_{0})}$ . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла (${\displaystyle \nabla }$ ) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных - матрица Якоби - может использоваться для представления производной функции(отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование

Интеграл ${\displaystyle ~\underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}}$  называется кратным интегралом, если ${\displaystyle ~n>1}$ . В случае ${\displaystyle ~n=2}$  он называется двойным, в случае ${\displaystyle ~n=3}$  - тройным интегралом, а в случае произвольного ${\displaystyle ~n\in N}$  - n-кратным. Его обозначают также ${\displaystyle ~\int \limits _{X}f(x)dx}$ . При такой записи под символом ${\displaystyle x}$  следует понимать точку ${\displaystyle ~x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$  пространства ${\displaystyle ~E^{n}}$ , под символом ${\displaystyle dx}$  - произведение ${\displaystyle ~dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}}$ , а под знаком ${\displaystyle ~\int \limits _{D}}$  - n-кратный интеграл по n-мерной области ${\displaystyle D}$ .

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла к функциям многих переменных. Двойные и тройные интегралы могут использоваться для вычисления площадей и объемов областей в плоскости и в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

• Теорема Ньютона — Лейбница
• Теорема Стокса
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Теорема Грина

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы - частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику.

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические(случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.

• Векторный анализ
• Интеграл
• Производная (обобщения)

• Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
• Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.

• Онлайн Калькулятор Пределов
• Онлайн Калькулятор Производных
• Онлайн Калькулятор Интегралов