Алгебра Ли

Разделы:

А́лгебра Ли — объект абстрактной алгебры.Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Содержание

1 Определение
- 1.1 Замечания
2 Примеры
3 См. также
4 Литература

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство L{displaystyle {mathfrak {L}}}

$mathfrak{L}$ над полем K{displaystyle K} $K$ , снабжённое билинейным отображением

L2→L, (x,y)↦[x,y],{displaystyle {mathfrak {L}}^{2}to {mathfrak {L}}, (x,y)mapsto [x,y],}

{mathfrak {L}}^{2}to {mathfrak {L}}, (x,y)mapsto [x,y],

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

[x,x]=0{displaystyle [x,x]=0} $[x,x]=0$ ;
[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0{displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0} $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

Если характеристика поля char(K)≠2{displaystyle mathrm {char} (K)neq 2} ${mathrm {char}}(K)neq 2$ , то тождество [x,x]=0{displaystyle [x,x]=0} $[x,x]=0$ эквивалентно антикоммутативности [x,y]+[y,x]=0{displaystyle [x,y]+[y,x]=0} $[x,y]+[y,x]=0$ .
Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
Иногда в определении алгебры Ли векторное пространство заменяют на унитарный K-модуль (модуль над коммутативным кольцом с единицей).

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если V{displaystyle V}

$V$ — конечномерное векторное пространство над K{displaystyle K} $K$ (dimV=n{displaystyle mathrm {dim} ;V=n} ${mathrm {dim}};V=n$ ), то множество его линейных преобразований EndV{displaystyle mathrm {End} ;V} ${mathrm {End}};V$ — также векторное пространство над K{displaystyle K} $K$ . Оно имеет размерность dim(EndV)=n2{displaystyle mathrm {dim} (mathrm {End} ;V)=n^{2}} ${mathrm {dim}}({mathrm {End}};V)=n^{2}$ и может быть представлено как пространство матриц n×n{displaystyle ntimes n} $ntimes n$ . В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой [x,y]=xy−yx{displaystyle [x,y]=xy-yx} $[x,y]=xy-yx$ . Пространство EndV{displaystyle mathrm {End} ;V} ${mathrm {End}};V$ с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиом
ам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают gl(V){displaystyle {mathfrak {gl}};(V)}

${mathfrak {gl}};(V)$ . Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение gl(V){displaystyle {mathfrak {gl}};(V)} ${mathfrak {gl}};(V)$ . Любая подалгебра в gl(V){displaystyle {mathfrak {gl}};(V)} ${mathfrak {gl}};(V)$ называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть A{displaystyle {mathfrak {A}}}

${mathfrak {A}}$ — произвольная ассоциативная алгебра над K{displaystyle K} $K$ с умножением: (x,y){displaystyle (x,y)} $(x,y)$ → xy{displaystyle xy} $xy$ . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над K{displaystyle K} $K$ , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: [x,y]=xy−yx{displaystyle [x,y]=xy-yx} $[x,y]=xy-yx$ , это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли,может быть описана несколькими эквивавлентными способами:

Используя производную Ли от поля Y по направлению поля X

[X,Y]≡LXY{displaystyle [X,Y]equiv L_{X}Y}

[X,Y]equiv L_{X}Y

Если на многообразии задана локальная система координат (t1,…,tn){displaystyle (t_{1},…,t_{n})} $(t_{1},...,t_{n})$ , то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен

[X,Y]i=Xj∂jYi−Yj∂jXi,{displaystyle [X,Y]^{i}=X^{j}partial _{j}Y^{i}-Y^{j}partial _{j}X^{i},}

[X,Y]^{i}=X^{j}partial _{j}Y^{i}-Y^{j}partial _{j}X^{i},

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

∂jYi(t1,…,tn)=∂∂tjYi(t1,…,tn){displaystyle partial _{j}Y^{i}(t_{1},…,t_{n})={frac {partial }{partial t_{j}}}Y^{i}(t_{1},…,t_{n})}

${displaystyle partial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={frac {partial }{partial t_{j}}}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})}$ ,

∂jXi(t1,…,tn)=∂∂tjXi(t1,…,tn){displaystyle partial _{j}X^{i}(t_{1},…,t_{n})={frac {partial }{partial t_{j}}}X^{i}(t_{1},…,t_{n})}

${displaystyle partial _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={frac {partial }{partial t_{j}}}X^{i}(t_{1},...,t_{n})}$

частные производные от функций Yi(t1,…,tn),Xi(t1,…,tn){displaystyle Y^{i}(t_{1},…,t_{n}),X^{i}(t_{1},…,t_{n})}

${displaystyle Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})}$ вдоль направлений tj.

выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:

[X,Y]=∇XY−∇YX{displaystyle [X,Y]=nabla _{X}Y-nabla _{Y}X}

[X,Y]=nabla _{X}Y-nabla _{Y}X

где X, Y — векторные поля, а ∇X{displaystyle nabla _{X}}

$nabla _{X}$ — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями даннымивыше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]⟺LX[Y,Z]=[LXY,Z]+[Y,LXZ]{displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]Longleftrightarrow L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z]+[Y,L_{X}Z]}

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]Longleftrightarrow L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z]+[Y,L_{X}Z]

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре A{displaystyle {mathfrak {A}}}

${mathfrak {A}}$ называется линейное отображение δ:A→A{displaystyle delta :{mathfrak {A}}to {mathfrak {A}}} $delta :{mathfrak {A}}to {mathfrak {A}}$ , удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения δ(ab)=aδ(b)+δ(a)b{displaystyle delta (ab)=adelta (b)+delta (a)b} $delta (ab)=adelta (b)+delta (a)b$ . Совокупность всех дифференцирований DerA{displaystyle operatorname {Der} ;{mathfrak {A}}} $operatorname {Der};{mathfrak {A}}$ является векторным подпространством в EndA{displaystyle operatorname {End} ;{mathfrak {A}}} $operatorname {End};{mathfrak {A}}$ . Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому DerA{displaystyle operatorname {Der} ;{mathfrak {A}}} $operatorname {Der};{mathfrak {A}}$ — подалгебра в gl(A){displaystyle {mathfrak {gl(A)}}} ${mathfrak {gl(A)}}$ .

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли L{displaystyle L}

$L$ . В алгебрах Ли некоторые
дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры L{displaystyle L} $L$ вида adx:y→[x,y];x,y∈L{displaystyle operatorname {ad} ;xcolon yto [x,y];x,yin L} $operatorname {ad};xcolon yto [x,y];x,yin L$ . Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение L→DerL;x↦adx{displaystyle Lto operatorname {Der} ;L;;xmapsto operatorname {ad} ;x} $Lto operatorname {Der};L;;xmapsto operatorname {ad};x$ называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в Der⁡(L){displaystyle operatorname {Der} (L)}

$operatorname {Der}(L)$ подалгебру adL{displaystyle operatorname {ad} ;L} $operatorname {ad};L$ , изоморфную факторалгебре L/Z(L){displaystyle L/Z(L)} $L/Z(L)$ алгебры L{displaystyle L} $L$ по её центру Z(L):={x∈L∣[x,y]=0;∀y∈L}{displaystyle Z(L):={xin Lmid [x,y]=0;forall yin L}} $Z(L):={xin Lmid [x,y]=0;forall yin L}$ .

См. также

Литература

Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, — М.: Мир, 1969.
Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений».
Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu).
Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960 (djvu)
Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. — М.: Мир, 1986. — 174 с..
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003