Алгебра Ли

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$  над полем ${\displaystyle K}$ , снабжённое билинейным отображением

${\displaystyle {\mathfrak {L}}^{2}\to {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],}$ 

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

• ${\displaystyle [x,x]=0}$ ;
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$  (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

• Если характеристика поля ${\displaystyle \mathrm {char} (K)\neq 2}$ , то тождество ${\displaystyle [x,x]=0}$  эквивалентно антикоммутативности ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0}$ .
• Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
• Иногда в определении алгебры Ли векторное пространство заменяют на унитарный K-модуль (модуль над коммутативным кольцом с единицей).

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если ${\displaystyle V}$  — конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle K}$  (${\displaystyle \mathrm {dim} \;V=n}$ ), то множество его линейных преобразований ${\displaystyle \mathrm {End} \;V}$  — также векторное пространство над ${\displaystyle K}$ . Оно имеет размерность ${\displaystyle \mathrm {dim} (\mathrm {End} \;V)=n^{2}}$  и может быть представлено как пространство матриц ${\displaystyle n\times n}$ . В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ . Пространство ${\displaystyle \mathrm {End} \;V}$  с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}\;(V)}$ . Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}\;(V)}$ . Любая подалгебра в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}\;(V)}$  называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$  — произвольная ассоциативная алгебра над ${\displaystyle K}$  с умножением: ${\displaystyle (x,y)}$  → ${\displaystyle xy}$ . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над ${\displaystyle K}$ , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ , это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавлентными способами:

• Используя производную Ли от поля Y по направлению поля X

${\displaystyle [X,Y]\equiv L_{X}Y}$ .

• Если на многообразии задана локальная система координат ${\displaystyle (t_{1},...,t_{n})}$ , то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен

${\displaystyle [X,Y]^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i},}$ 

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

${\displaystyle \partial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{j}}}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})}$ ,

${\displaystyle \partial _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{j}}}X^{i}(t_{1},...,t_{n})}$ 

частные производные от функций ${\displaystyle Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})}$  вдоль направлений t_j.

• выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:

${\displaystyle [X,Y]=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X}$ 

где X, Y — векторные поля, а ${\displaystyle \nabla _{X}}$  — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

• векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Longleftrightarrow L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z]+[Y,L_{X}Z]}$ 

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$  называется линейное отображение ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}}$ , удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения ${\displaystyle \delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b}$ . Совокупность всех дифференцирований ${\displaystyle \operatorname {Der} \;{\mathfrak {A}}}$  является векторным подпространством в ${\displaystyle \operatorname {End} \;{\mathfrak {A}}}$ . Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому ${\displaystyle \operatorname {Der} \;{\mathfrak {A}}}$  — подалгебра в ${\displaystyle {\mathfrak {gl(A)}}}$ .

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли ${\displaystyle L}$ . В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры ${\displaystyle L}$  вида ${\displaystyle \operatorname {ad} \;x\colon y\to [x,y];x,y\in L}$ . Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение ${\displaystyle L\to \operatorname {Der} \;L;\;x\mapsto \operatorname {ad} \;x}$  называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в ${\displaystyle \operatorname {Der} (L)}$  подалгебру ${\displaystyle \operatorname {ad} \;L}$ , изоморфную факторалгебре ${\displaystyle L/Z(L)}$  алгебры ${\displaystyle L}$  по её центру ${\displaystyle Z(L):=\{x\in L\mid [x,y]=0;\forall y\in L\}}$ .

• Группа Ли
• Производная Ли
• Дифференциальная геометрия и топология
• Коммутатор операторов

• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли, — М.: Мир, 1969.
• Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений».
• Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu).
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960 (djvu)
• Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. — М.: Мир, 1986. — 174 с..
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003