Алгебра Ли

А́лгебра Ли — объект абстрактной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (18421899).

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство   над полем  , снабжённое билинейным отображением

 

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

  •  ;
  •   (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если   — конечномерное векторное пространство над   ( ), то множество его линейных преобразований   — также векторное пространство над  . Оно имеет размерность   и может быть представлено как пространство матриц  . В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой  . Пространство   с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают  . Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение  . Любая подалгебра в   называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть   — произвольная ассоциативная алгебра над   с умножением:   . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над  , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле:  , это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавлентными способами:

 .
  • Если на многообразии задана локальная система координат  , то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен
 

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

 ,

 

частные производные от функций   вдоль направлений tj.


  • выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:
 

где X, Y — векторные поля, а   — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

  • векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.


Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

 

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре   называется линейное отображение  , удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения  . Совокупность всех дифференцирований   является векторным подпространством в  . Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому   — подалгебра в  .

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли  . В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры   вида  . Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение   называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в   подалгебру  , изоморфную факторалгебре   алгебры   по её центру  .

См. также

Литература