Алгебраи́ческая тополо́гия — область математики, раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.
Применение алгебраических методов в топологии основывается на том соображениии, что, грубо говоря, алгебраические структуры устроены проще, чем топологические. Разберём в связи с этим доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь означает замкнутый -мерный шар, — его -мерную границу (сферу):
Всякое непрерывное отображение -мерного шара в себя имеет неподвижную точку то есть такую точку , что
Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:
Не существует непрерывного отображения -мерного шара на свою границу такого, что для всех точек границы (так называемой ретракции)
В самом деле, если у отображения нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение шара на сферу проведя для каждой точки шара луч, выходящий из и проходящий через (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой обозначим через и положим . Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если принадлежит сфере, то . Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.
Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция . Обозначим — вложение сферы в шар . Имеем:
произведение отображений — тождественное отображение сферы (вначале , затем ). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии является так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству соответствует в каждой размерности своя абелева группа гомологий , а каждому непрерывному отображению соответствует гомоморфизм групп , причём произведению отображений соответствует произведение гомоморфизмов , а тождественному отображению соответствует тождественный изоморфизм . (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).
Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что , а . Тогда отображение будет отображением в 0 но, с другой стороны, так как , имеем — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.
Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом. Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или -теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы . Из них главной является — так называемая фундаментальная группа, в отличие от групп всех других размерностей могущая быть неабелевой.
Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин , рёбер и граней имеет место .
Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.
Но основную роль в создание алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.