Алгебраическая топология

Применение алгебраических методов в топологии основывается на том соображениии, что, грубо говоря, алгебраические структуры устроены проще, чем топологические. Разберём в связи с этим доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь ${\displaystyle D_{n}}$  означает замкнутый ${\displaystyle n}$ -мерный шар, ${\displaystyle S_{n-1}}$  — его ${\displaystyle (n-1)}$ -мерную границу (сферу):

Всякое непрерывное отображение ${\displaystyle f}$  ${\displaystyle n}$ -мерного шара ${\displaystyle D_{n}}$  в себя имеет неподвижную точку то есть такую точку ${\displaystyle x}$ , что ${\displaystyle f(x)=x}$ 

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:

Не существует непрерывного отображения ${\displaystyle g}$  ${\displaystyle n}$ -мерного шара ${\displaystyle D_{n}}$  на свою границу ${\displaystyle S_{n-1}}$  такого, что ${\displaystyle g(x)=x}$  для всех точек границы (так называемой ретракции)

В самом деле, если у отображения ${\displaystyle f}$  нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение ${\displaystyle g}$  шара на сферу проведя для каждой точки шара ${\displaystyle x}$  луч, выходящий из ${\displaystyle f(x)}$  и проходящий через ${\displaystyle x}$  (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой ${\displaystyle S_{n-1}}$  обозначим через ${\displaystyle y}$  и положим ${\displaystyle g(x)=y}$ . Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если ${\displaystyle x}$  принадлежит сфере, то ${\displaystyle g(x)=x}$ . Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.

Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция ${\displaystyle g}$ . Обозначим ${\displaystyle i}$  — вложение сферы в шар ${\displaystyle i(x)=x}$ . Имеем:

произведение отображений ${\displaystyle gi=\mathrm {id} }$  — тождественное отображение сферы (вначале ${\displaystyle i}$ , затем ${\displaystyle g}$ ). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии является так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству ${\displaystyle X}$  соответствует в каждой размерности ${\displaystyle n}$  своя абелева группа гомологий ${\displaystyle H_{n}(X)}$ , а каждому непрерывному отображению ${\displaystyle f:X\to Y}$  соответствует гомоморфизм групп ${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\to H_{n}(Y)}$ , причём произведению отображений ${\displaystyle fg}$  соответствует произведение гомоморфизмов ${\displaystyle f_{*}g_{*}}$ , а тождественному отображению ${\displaystyle \mathrm {id} }$  соответствует тождественный изоморфизм ${\displaystyle \mathrm {id} _{*}}$ . (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).

Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что ${\displaystyle H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf {Z} }$ , а ${\displaystyle H_{n-1}(D_{n})=0}$ . Тогда отображение ${\displaystyle g_{*}:H_{n-1}(D_{n})\to H_{n-1}(S_{n-1})}$  будет отображением в 0 но, с другой стороны, так как ${\displaystyle gi=\mathrm {id} }$ , имеем ${\displaystyle g_{*}i_{*}=\mathrm {id} _{*}:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} }$  — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.

Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом. Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или ${\displaystyle K}$ -теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ . Из них главной является ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$  — так называемая фундаментальная группа, в отличие от групп всех других размерностей могущая быть неабелевой.

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин ${\displaystyle V}$ , рёбер ${\displaystyle E}$  и граней ${\displaystyle F}$  имеет место ${\displaystyle V-E+F=2}$ .

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создание алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

• Hatcher A. Algebraic Topology

• Общая топология
• Дифференциальные геометрия и топология