wiki

Алгебраическая топология

Разделы:

Алгебраи́ческая тополо́гия — область математики, раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов, а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Table of Contents

Содержание

1 Основная идея
2 История
3 Литература
4 См. также

Основная идея

Применение алгебраических методов в топологии основывается на том соображениии, что, грубо говоря, алгебраические структуры устроены проще, чем топологические. Разберём в связи с этим доказательство знаменитой теоремы Брауэра. Здесь Dn{displaystyle D_{n}}

$D_{n}$ означает замкнутый n{displaystyle n} $n$ -мерный шар, Sn−1{displaystyle S_{n-1}} $S_{{n-1}}$ — его (n−1){displaystyle (n-1)} $(n-1)$ -мерную границу (сферу):

Всякое непрерывное отображение f{displaystyle f}

$f$ n{displaystyle n} $n$ -мерного шара Dn{displaystyle D_{n}} $D_{n}$ в себя имеет неподвижную точку то есть такую точку x{displaystyle x} $x$ , чтоf(x)=x{displaystyle f(x)=x} $f(x)=x$

Нетрудно видеть, что для этого достаточно доказать следующую лемму:

Не существует непрерывного отображения g{displaystyle g}

$g$ n{displaystyle n} $n$ -мерного шара Dn{displaystyle D_{n}} $D_{n}$ на свою границу Sn−1{displaystyle S_{n-1}} $S_{{n-1}}$ такого, что g(x)=x{displaystyle g(x)=x} $g(x)=x$ для всех точек границы (так называемой ретракции)

В самом деле, если у отображения f{displaystyle f}

$f$ нет неподвижных точек, то мы можем построить отображение g{displaystyle g} $g$ шара на сферу проведя для каждой точки шара x{displaystyle x} $x$ луч, выходящий из f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ и проходящий через x{displaystyle x} $x$ (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки). Точку пересечения луча со сферой Sn−1{displaystyle S_{n-1}} $S_{{n-1}}$ обозначим через y{displaystyle y} $y$ и положим g(x)=y{displaystyle g(x)=y} $g(x)=y$ . Ясно, что получившееся отображение непрерывно, и если x{displaystyle x} $x$ принадлежит сфере, то g(x)=x{displaystyle g(x)=x} $g(x)=x$ . Мы получили ретракцию шара на сферу, что по лемме невозможно. Значит неподвижные точки (хотя бы одна) должны существовать.

Теперь главная трудность состоит в доказательстве леммы. Пусть существует такая ретракция g{displaystyle g}

$g$ . Обозначим i{displaystyle i} $i$   — вложение сферы в шар i(x)=x{displaystyle i(x)=x} $i(x)=x$ . Имеем:

произведение отображений gi=id{displaystyle gi=mathrm {id} }

$gi={mathrm {id}}$   — тождественное отображение сферы (вначале i{displaystyle i} $i$ , затем g{displaystyle g} $g$ ). Одним из главнейших инструментов алгебраической топологии является так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству X{displaystyle X} $X$ соответствует в каждой размерности n{displaystyle n} $n$ своя абелева группа гомологий Hn(X){displaystyle H_{n}(X)} $H_{n}(X)$ , а каждому непрерывному отображению f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} $f:Xto Y$ соответствует гомоморфизм групп f∗:Hn(X)→Hn(Y){displaystyle f_{*}:H_{n}(X)to H_{n}(Y)} $f_{*}:H_{n}(X)to H_{n}(Y)$ , причём
произведению отображений fg{displaystyle fg} $fg$ соответствует произведение гомоморфизмов f∗g∗{displaystyle f_{*}g_{*}} $f_{*}g_{*}$ , а тождественному отображению id{displaystyle mathrm {id} } ${mathrm {id}}$ соответствует тождественный изоморфизм id∗{displaystyle mathrm {id} _{*}} ${mathrm {id}}_{*}$ . (На языке теории категорий это означает, что группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп).

Теперь возвращаемся к нашей лемме. Легко доказать, что Hn−1(Sn−1)=Z{displaystyle H_{n-1}(S_{n-1})=mathbf {Z} }

$H_{{n-1}}(S_{{n-1}})={mathbf {Z}}$ , а Hn−1(Dn)=0{displaystyle H_{n-1}(D_{n})=0} $H_{{n-1}}(D_{n})=0$ . Тогда отображение g∗:Hn−1(Dn)→Hn−1(Sn−1){displaystyle g_{*}:H_{n-1}(D_{n})to H_{n-1}(S_{n-1})} $g_{*}:H_{{n-1}}(D_{n})to H_{{n-1}}(S_{{n-1}})$ будет отображением в 0 но, с другой стороны, так как gi=id{displaystyle gi=mathrm {id} } $gi={mathrm {id}}$ , имеем g∗i∗=id∗:Z→Z{displaystyle g_{*}i_{*}=mathrm {id} _{*}:mathbf {Z} to mathbf {Z} } $g_{*}i_{*}={mathrm {id}}_{*}:{mathbf {Z}}to {mathbf {Z}}$   — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Таким образом, лемма доказана.

Конечно, имеются и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся несвязанными друг с другом. Помимо различных гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например теория бордизмов или K{displaystyle K}

$K$ -теория) для алгебраической топологии важны гомотопические группы πn(X){displaystyle pi _{n}(X)} $pi _{n}(X)$ . Из них главной является π1(X){displaystyle pi _{1}(X)} $pi _{1}(X)$   — так называемая фундаментальная группа, в отличие от групп всех других размерностей могущая быть неабелевой.

История

Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин V{displaystyle V}

$V$ , рёбер E{displaystyle E} $E$ и граней F{displaystyle F} $F$ имеет место V−E+F=2{displaystyle V-E+F=2} $V-E+F=2$ .

Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман.

Но основную роль в создание алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы.Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана.

Литература

Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997

Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005

Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии

Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984

Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001

Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983

Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949

Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002

Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006

Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985

Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971

Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958

Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

Hatcher A. Algebraic Topology

См. также

Общая топология

Дифференциальные геометрия и топология