Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений, стационарная система дифференциальных уравнений — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент $t$ системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:
${\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n$

или в векторной записи:
${\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})$

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию $x_{n+1}$ , заменив ею аргумент $t$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением ${\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1$ . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с $n$ на $n+1$ , что усложняет структуру семейства решений.

Свойства автономной системы

Если ${\bar {x}}={\bar {x}}(t)$ - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. x₁, ..., x_n, и не зависят от выбора начального значения аргумента t.

См. также