Абсолютная величина

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ${\displaystyle ~|x_{1}-x_{2}|}$  означает расстояние между точками ${\displaystyle ~x_{1}}$  и ${\displaystyle ~x_{2}}$  и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

• Область определения: ${\displaystyle (-\infty ;+\infty )}$ .
• Область значений: ${\displaystyle ~[0;+\infty )}$ .
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке ${\displaystyle x=0}$  функция претерпевает излом.

Комплексные числа

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений: ${\displaystyle ~[0;+\infty )}$ .
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Для любых ${\displaystyle ~a,b\in \mathbb {R} }$  имеют место следующие соотношения:

• ${\displaystyle ~\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}}$  (см. Функция sgn(x)).
• ${\displaystyle a\leqslant |a|}$ 
• ${\displaystyle -|a|\leqslant a}$ .

Как для вещественных, так и для комплексных ${\displaystyle ~a,b}$  имеют место соотношения:

• ${\displaystyle |a|\geqslant 0}$ , причём ${\displaystyle |a|=0}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ~a=0}$ .
• ${\displaystyle |-a|=|a|}$ .
• ${\displaystyle |ab|=|a||b|;~~~\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}$ .
• ${\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}$  (неравенство треугольника).
• ${\displaystyle |a-b|\leqslant |a|+|b|}$ .
• ${\displaystyle ~|a|-|b|\leqslant |a+b|}$ .
• ${\displaystyle ~|a\pm b|\geqslant ||a|-|b||}$ .
• ${\displaystyle ~|a^{k}|=|a|^{k}}$ , если ${\displaystyle ~a^{k}}$  существует.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ${\displaystyle \|x\|}$ . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство