Абсолютная величина

Разделы:

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа x{displaystyle x} — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x{displaystyle x}. Обозначается: |x|{displaystyle ~|x|}.

График вещественной функции Модуль |z|{displaystyle |z|} и другие характеристики комплексного числа z{displaystyle z}

В случае вещественного x{displaystyle x} абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

|x|={ x,x⩾0−x, x<0{displaystyle |x|={begin{cases} x,&xgeqslant 0-x,& x<0end{cases}}}

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа z=x+iy{displaystyle ~z=x+iy}, также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:

|z|=|x+iy|=x2+y2{displaystyle |z|=|x+iy|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

Содержание

1 Основные свойства
- 1.1 Вещественные числа
- 1.2 Комплексные числа
2 Алгебраические свойства
3 История
4 В языках программирования
5 Обобщение
6 См. также
7 Примечания

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина |x1−x2|{displaystyle ~|x_{1}-x_{2}|}

означает рассто
яние между точками x1{displaystyle ~x_{1}} и x2{displaystyle ~x_{2}} и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

Область определения: (−∞;+∞){displaystyle (-infty ;+infty )} .
Область значений: [0;+∞){displaystyle ~[0;+infty )} .
Функция чётная.
Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x=0{displaystyle x=0} функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: [0;+∞){displaystyle ~[0;+infty )} .
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых a,b∈R{displaystyle ~a,bin mathbb {R} }

имеют место следующие соотношения:

|x|=x2=x⋅sgn⁡x=max{x,−x}{displaystyle ~ |x|={sqrt {x^{2}}}=xcdot operatorname {sgn} x={rm {max}},{x,,-x}} (см. Функция sgn(x)).
a⩽|a|{displaystyle aleqslant |a|}
−|a|⩽a{displaystyle -|a|leqslant a} .

Как для вещественных, так и для комплексных a,b{displaystyle ~a,b}

имеют место соотношения:

|a|⩾0{displaystyle |a|geqslant 0} , причём |a|=0{displaystyle |a|=0} тогда и только тогда, когда a=0{displaystyle ~a=0} .
|−a|=|a|{displaystyle |-a|=|a|} .
|ab|=|a||b|; |ab|=|a||b|{displaystyle |ab|=|a||b|;~~~left|{frac {a}{b}}right|={frac {|a|}{|b|}}} .
|a+b|⩽|a|+|b|{displaystyle |a+b|leqslant |a|+|b|} (неравенство треугольника).
|a−b|⩽|a|+|b|{displaystyle |a-b|leqslant |a|+|b|} .
|a|−|b|⩽|a+b|{displaystyle ~|a|-|b|leqslant |a+b|} .
|a±b|⩾||a|−|b||{displaystyle ~|apm b|geqslant ||a|-|b||} .
|ak|=|a|k{displaystyle ~|a^{k}|=|a|^{k}} , если ak{displaystyle ~a^{k}} существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.

Обобщение

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ‖x‖{displaystyle |x|}

. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Примечания

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.